导图社区 微分中值定理及导数应用
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微分中值定理及导数应用
导数应用
1. 重要概念
驻点
导数为0的点
极值点
最值点
坐标轴上的一点x
拐点
连续曲线弧上的凹与凸的分界点
曲线上的一点(x,f(x))
易混淆
区间端点只能去最值，不能取极值(极值是在一点邻域内讨论)
2. 函数的单调性
3. 函数的极值
前提
函数在某点领域内有定义
定义
极大值点
在某点邻域内所有函数值均小于该点函数值
极小值点
在某点邻域内所有函数值均大于该点函数值
必要条件
极值点必为驻点(极值点-->驻点)
充分条件
第一充分条件
1. 函数在某点领域内可导
2. 导数在该点为0(或函数在该点连续)
导数在该点两侧异号
导数在该点两侧同号--->该点不为函数的极值点
第二充分条件
1. 函数在某点二阶可导
2. 函数在该点的一阶导数为0(驻点)
函数在该点的二阶导数
大于0（凸）
小于0(凹)
函数在该点的二阶导数=0
不能判断该点是否为极值点
注意理解
驻点--/-->极值点
y = x^3 在点 x0 = 0处
函数若在某点导数不存在,但在该点连续可用极值的第一充分条件
最主要利用该点两侧的导数值异号判断 y=|x| 在点x=0处（连续但不可导） 极值的第一充分条件可知:(左导数 = -1；右导数 = 1）-->极小值点 如果函数在该点不连续并且不可导，那么不能用极值的第一充分条件判断，因为不连续不可导但两侧导数异号可能是如下情况(在该点不能取得极大值) 
4. 函数的凹凸性
函数在I上的图像
凹的
几何意义
连接区间两端点的弦的中点的纵坐标>曲线中点的纵坐标
数学表示
函数在I上的二阶导数恒大于0
凸的
函数的拐点
对应函数极值充分条件or必要条件-->导数阶数提高一阶
5. 函数的最值
求连续函数在闭区间上的最大值和最小值
1. 函数在开区间的驻点和不可导点
2. 求出函数在驻点、不可导点以及区间端点的函数值
3. 比较以上各点函数值大小，得出最值
最大最小值的应用题
1. 建立目标函数确定其定义域
2. 求连续函数在闭区间上的最大值和最小值
连续函数在区间内仅有唯一极值点->该点若为极大值点(则最大值点)
6. 函数的渐近线
点M沿函数曲线无限远离原点时,与某条定直线L之间的距离将趋近0
水平渐近线(L//x轴)
自变量沿X轴趋向无穷，函数值趋向于某一个定值
一条
x->∞(+∞/-∞)极限存在
两条(最多）
x->+∞
x->-∞
垂直渐近线(L//y轴)
自变量趋向于有限点(某一定点)时，函数值趋向于∞
数量
可无限多条
可疑点
分母为无穷小的点
斜渐近线
书本P74 14
复习全书基础篇 P45
注意
水平/垂直渐近线直接通过定义判断
斜渐进线通过改写的方法判断更为方便
7. 函数的作图
8. 函数的弧微分与曲率
微分中值定理
本质
导数<--桥梁-->函数(为利用导数研究函数奠定基础)
前三个建立f
定理
费马引理
函数在极值点可导，则极值点处导数为0
罗尔定理
条件
闭区间连续、开区间可导
区间端点的函数值相等
结论
在区间内部至少存在一点ξ，使得该点一阶导数为0
拉格朗日中值定理
在区间内部至少存在一点ξ，使得该点一阶导数为连接两端点的弦的斜率
柯西中值定理
参数方程
泰勒公式
多项式逼近函数
多项式的相关运算简单（求导、求积分）
用已知点的信息表示未知点
已知点的信息：某一点的n阶导数 未知点：该点邻域的函数值（皮亚诺余项的泰勒公式）、甚至围绕该点的一个大区间内的点的函数值（拉格朗日余项的泰勒公式）
皮亚诺余项泰勒公式（局部）

函数在点x0有直至n阶的导数
余项
定性描述误差
只能保证当x->xo时，误差充分小 o[(x-x0)^n]:只有当x->xo(局部)时,（x-x0）才是无穷小，此时误差项才充分小
适用情况(某点邻近)
极限、极值
拉个朗日余项泰勒公式（全局）

函数在点x0的开区间(a,b)有n+1阶的导数
定量描述误差
当n->无穷大时，可以保证x在xo的较大区间内时，误差充分小
适用情况(区间)
最值、不等式
关系
罗尔定理--推广-->拉格朗日中值定理--推广-->柯西中值定理 罗尔定理<--特例--拉格朗日中值定理<--特例--柯西中值定理
两个基本不等式
sinx<x<tanx （0,pi/2)
