第五六章 定积分及其应用与反常积分

武忠祥课程学习笔记，参考老师课程讲解的笔记；在期末复习的时候非常好用~适用于考试复习！

第五六章定积分及其应用与反常积分

• 反常积分
  • 定积分的回顾
    • 1. [a,b]有限区间
      • 无限区间 不能使划分的子区间的最大长度--->0
    • 2. f(x)有界
  • 引入
    • 定义
      • 定积分取极限（非和式极限）
      • 作用
        • 判断敛散性
        • 计算反常积分的值
          • 反常积分收敛时，则反常积分的值等于定积分取极限的极限值
    • 分类
      • 积分区间无限的反常积分
      • 无界函数在有限区间的反常积分
  • 积分区间无限的反常积分
    • 区间右端为+∞
      • 
    • 区间左端为-∞
      • 
    • 注意
      • 积分区间为(-∞,+∞)时，一定要拆开用分别判断(都收敛-->收敛)
        • 
      • 拆被积函数和拆积分区间不一样————易混淆
        • 如图： 拆分被积函数---->不可以通过两个函数在对应积分区间的反常积分发散则说明整体函数发散 发散±收敛--->发散（其他不一定） 
  • 瑕积分
    • 无界函数在有限区间的反常积分
    • 前提
      • 需说明哪一点为瑕点（无界点）（因为与普通定积分形式上一样）
        • 
    • 思想
      • 先挖后极限
        •  先挖掉无界点a，然后求积分区间为[t,b]的定积分 求积分后令t-->a+ ，则得出原瑕积分的值
    • 瑕点在下限
      • 
    • 瑕点在上限
      • 
    • 瑕点在中间
      • 
  • 常用结论
    • p积分
• 定积分的应用
  • 几何应用
    • 平面图形的面积（二重积分）
      • 
      • 直角坐标
        • 
      • 曲边扇形（极坐标）
        • 
    • 旋转体体积（二重积分）
      •  dV（体积微元--环带）= dxdy * r(x,y) * 2*pi (底*高（圆环的周长）) r(x,y)：点到直线距离：公式
      • 区域D绕x轴旋转一周所得到的旋转体积
        • 
      • 区域D绕y轴旋转一周所得到的旋转体积
        • 
    • 曲线弧长
      • 直角坐标方程
      • 参数方程
      • 极坐标方程
    • 旋转体侧面积
      • 面积微元ds = 窄带子
  • 物理应用
    • 压力、变力作功、引力
• 定积分
  • 概念
    • 定义
      • 特殊极限--和式极限--数
      • 分割、求和、取极限
    • 充分条件（可积性）
      • 定积分存在的充分条件
      • f(x)在[a,b]上连续
      • f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点
      • f(x)在[a,b]上仅有有限个第一类间断点（跳跃OR可去）
        • 更常用（只需验证间断点是否为第一类间断点）
    • 几何意义
      • 曲边梯形面积
    • 注意
      • 子区间最大长度λ与子区间划分个数n关系
        •  λ->0 --> n-->∞ λ->0 <-/- n-->∞ : 第一个子区间的长度可以不趋向于0，然后在第二个子区间开始再划分无穷多个子区间
      • 定积分表示一个数值（仅取决于积分区间与被积函数）
      • 定积分与区间的分法和点的取法无关（可积）
        • 若与分法或取法有关，则不可积
  • 性质
    • 不等式性质）
      • 应用
        • 积分不等式
        • 与积分有关的极限（夹逼）
      • 性质
        • 1. 保序性
          • 
        • 2. 估值性
          •  函数在闭区间连续保证f(x)在闭区间上取得最大值和最小值
        • 3. 绝对值性质
          •  和的绝对值≤绝对值的和 积分的绝对值：和的绝对值 绝对值的积分：绝对值的和
    • 中值定理
      • 积分中值公式
        • 定义
          • 
          • 拉格朗日中值定理可证
            •  牛顿莱布尼茨公式+拉格朗日中值定理
        • 注意
          • a<ξ<b
            • ξ在开区间(a,b)内取值 不用讨论ξ取区间端点[a,b]的值
          • f(ξ)平均高度
            • 被积函数在区间上的面积 = 平均高度×区间长度
      • 推广（两函数相乘）
        • 定义
          • 
          • 介值定理可证（高数书最后一页）
            • 
        • 注意
          • g(x)在区间[a,b]上连续且不变号
          • a≤ξ≤b
  • 积分上限函数
    • 定义
      • 
    • 微积分第一基本定理
      • 
      • 微分与积分关系（互为逆运算）
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      • 原函数存在性
        • 函数f(x)在区间[a,b]上连续，则必有一个原函数（积分上限函数且求导为f(x)）
    • 变上限积分函数的函数值为0
      • 上下限相等则函数值必为0
      • 函数值为0不一定是上下限相等
        • 例如：sinx 在[0,2pi]的定积分值为0 若被积函数在积分区间恒大于0或恒小于0，则积分上下限需相等
  • 计算
    • 牛顿-莱布尼茨公式（找原函数）
    • 换元积分法（换元必换限）
    • 分部积分法
    • 奇偶性和周期性
    • 利用已有公式P60
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