第八章 多元函数微分学

武忠祥课程学习笔记，参考老师课程讲解的笔记；在期末复习的时候非常好用~适用于考试复习！

多元函数微分学

• 多元函数的极值与最值
  • 无约束极值
    • 定义
      • 该点函数值为该点邻域所有函数值的最大/最小值
        • 
    • 极值的必要条件
      • 前提
        • 1. f(x,y)在点(x0,y0)存在偏导数
        • 2. 点(x0,y0)为f(x,y)的极值点
      • 结论
        • 两个一阶偏导数在该点的函数值为0
    • 极值的充分条件
      • 前提
        • 1. 两个一阶偏导数在该点的函数值为0（极值的必要条件）
        • 2. f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内具有二阶连续偏导数
      • 结论 P88
    • 可能的极值点
      • 1. 驻点
      • 2. 一阶偏导数至少有一个不存在的点（一元函数的不可导点）
  • 条件极值（有约束极值）及拉格朗日数乘法
  • 最大最小值
    • 求连续函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大最小值
      • 求f(x,y)在区域D内部可能的极值点
      • 求f(x,y)在区域D边界上的最大最小值点（条件极值）
        • 拉格朗日数乘法
        • 化有条件为无条件
          • y=y(x)
            • z(x,y)--->z(x,f(x))（关于x的一元函数极值问题）
          • 参数方程法
            • 边界曲线为圆/椭圆
    • 应用题
      • 建立目标函数z=f(x,y)
      • 按照上面的步骤求解f(x,y)在有界闭区域D上的最值
• 多元函数的基本概念
  • 多元函数的极限
    • 定义
      • 要求点(x,y)在D内以任意方式趋近于点(x0,y0)，f(x,y)趋近于同一确定的常数A
    • 计算（x->0,y->0）
      • 1. 分子比分母次方（初步判断）
        • 高——极限一般存在
        • 低或相等——极限一般不存在
      • 2. 取绝对值夹逼——易放缩（数列极限结论的推广）
        • an -> 0 <---> |an| -> 0 f(x) -> 0 <---> |f(x)| -> 0
    • 证明极限不存在
      • 1. 取特殊路径y=kx
      • 2. 求原重极限
        • 极限值与k有关(重极限不存在)
    • 注意
      • 若f(x,y)在D内沿任意两个方向趋近于点(x0,y0),函数值不相同则极限不存在
      • 多元函数无洛必达
  • 多元函数的连续性
    • 考点
      • 能判断多元函数是否连续即可
        • 
    • 定义
      • 函数在该点的极限值=函数值
        • 该点的极限存在并且等于该点函数值
    • 性质（对应一元函数）
      • 多元连续函数的和差积商（分母不为0）仍为连续函数
      • 多元连续函数的复合函数仍是连续函数
      • 多元初等函数在其定义区域内连续（一元-定义区间）
      • 最大值定理
        • 有界闭区域D上的连续函数在区域D上必能取得最大值与最小值
      • 介值定理
        • 有界闭区域D上的连续函数在区域D上必能取得介于最大值与最小值的值
    • 注意
      • 多元函数不讨论间断点类型（复杂）
  • 偏导数
    • 定义
      • 定义
        • (函数偏增量/自变量增量)的极限（自变量增量-->0）
    • 计算方法
      • 先求（定义）后代
        • 
      • 先代（具体点）后求
        • 偏导数本质上是一元函数 对x求偏导：先将对应点的y0代入二元函数的表达式，然后求f（x，y0）对x的导数 
      • 注意
        • 偏导数本质上是一元函数的导数
    • 几何意义
      • 
      • 切线方向和∥坐标轴方向的方向向量之间夹角的正切
    • 高阶偏导数
      • n阶混合偏导在区域D连续--->n阶混合偏导在区域D相等
      • 含抽象函数求高阶偏导数-->合并混合偏导数
  • 全微分
    • 多元函数可微的判定
      • I. 定义
        • 1. 满足全微分存在的必要条件（两个一阶偏导数存在）
        • 2. 满足全微分的等价形式
          • 
      • II. 可微的充分条件
        • 两个一阶偏导数连续
    • 重点内容
      • 连续、可偏导、可微之间的关系
      • 证明几个经典的反例
      • 理解全微分的定义
• 多元函数的微分法
  • 何时能用先代后求
    • 先代具体值的变量都是与本次求导变量无关的变量
    • 一元函数求导肯定不能先代后求
  • 复合函数微分法
    • 一元复合函数
      • 内外层可导--->复合函数可导
    • 多元复合函数
      • 可导
        • 内层可导
        • 外层有连续偏导数
      • 求导方法（链导法则）
        • 变量之间树形图
          • 
        • 分析变量之间关系
          • 树的叶子结点中求导变量的个数 = 项数
          • 从最外层函数到求导变量的边数=每项因子相乘的个数
    • 全微分形式的不变性
      • 一元函数
        • 
      • 多元函数f(u,v)无论u,v是中间变量还是自变量，微分形式都一样
  • 隐函数微分法
    • 隐函数存在定理
      • 隐函数对某个变量求偏导≠0--->则该变量为因变量
    • 求解隐函数导数OR微分
      • 1. 全微分形式的不变性（无常皆变）
        • 等式两边同时对全部变量求微分（自变量/中间变量，均同等对待）
        • 要什么留什么，不要什么就消掉
      • 2. 两边对所取的自变量求偏导（有常有变）
        • 画变量之间树形图，理清变量之间的关系
        • 有常有变
          • 常量
            • 与本次求导变量无关的变量
          • 变量
            • 本次求导变量以及与本次求导变量具有函数关系的变量
      • 3. 隐函数的求导公式
        •  注意：Fx是将x看成自变量，其他变量看成常量的求导方式 原因：推导公式时，已经考虑了z是x的函数，从而得出公式