高等数学

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数学 多选题，填空题，解答题，证明题

• 第一章:函数、极限和连续
  • 第一节 函数
    • 一、函数的概念:自变量，因变量，定义域，值域
    • 二、几种函数
      • 分段函数（y=|x|）
      • 复合函数:y=f[Ψ(x)] 内函数，外函数 函数复合的条件:内函数的值与包含在外函数的定义域中
      • 基本初等函数:①常数函数:y=c ②幂函数:y=xⁿ(n为任意实数) ③指数函数:y=ₐx ④对数函数:y=logₐx ⑤三角函数:y=sinx=cosx=tanx=cotx=secx=cscx ⑥反三角函数:y=arcsinx=arccosx=arctanx=arccotx 有基本初等函数经过有限次四则运算所得的，仅用一个函数解析式表达的函数， 称为初等函数。
    • 三、函数的几种简单性质:有界性,单调性,奇偶性,周期性
  • 第二节 极限
    • 一、极限的概念
      • 1.x→∞时函数的极限lim f(x)=A x→∞
      • 2.①x→xo 时函数的极限(函数f(x)在xo附近有定义,在xo出可以没有定义):lim. f(x)=A x→xo ②单侧极限:左极限xo-.右极限xo+ ③分段函数当x→xo时,极限存在的充分必要条件是在xo处左右极限皆存在且相等
      • 3.①数列的极限：lim aⁿ=A n→∞ ②等比数列极限qⁿ的极限：0＜q＜1.qⁿ→0 q=1. qⁿ→1 q＞1.qⁿ→∞
      • 4.极限存在性判别准则: 夹逼准则:若f1(x)≦f(x)≦f2(x),且lim f1(x)=A=lim f2(x) 则lim f(x)=A
    • 二、无穷小量及其性质
      • 1.无穷小量与无穷大量:无穷小量和无穷大量都是变量 ①无穷小量:如果x→xo(或x→∞)时,函数f(x)的极限为零，则称x→xo(或x→∞)时f(x)为无穷小 ②任何很小的常数(零除外)或任何很大的常数,都不是无穷小量或无穷大量 ③零是唯一的，可作为无穷小的常数
      • 2.无穷小定律及其性质 ①当f(x)无穷小时,1/f(x)无穷大 ②有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小 ③有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小
      • 3.无穷小的比较与阶:α=α(x),β=β(x)≠0是同一极限过程中的无穷小 ①若limα/β=0.则称α是较β高阶的无穷小，记作α=o(β) ②若limα/β=∞.则称α是较β低阶的无穷小，或β是较α高杰的无穷小 ③若limα/β=c≠0.则称α与β是同阶无穷小，记作α=O(β) 特别的，当c=1时，称α与β是等价无穷小,记作α∽β
      • 4.等价无穷小替换:当x→0时 ①α∽β. limαΨ(x)=limβΨ(x)乘 ②α∽α',β∽β'. limβ/α＝β'/α'除 不用于加减
    • 三、极限的四则运算
      • 若limf(x)=A ,limg(x)=B ①lim[f(x)±g(x)]＝limf(x)±limg(x)=A+B ②lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=AB 特别的，当c为常数时，有lim[c·f(x)]=c·limf(x) ③limf(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=A/B (B≠0)
    • 四、两个重要极限
      • 1.lim sinx =1 x→0. x
      • 2.lim (1+1/n)ⁿ=e. lim(1+n)¹/ⁿ=e n→∞ n→0
  • 第三节 函数的连续性
    • 一、连续函数的概念
      • 1.增量:函数的增量:可为正或为负
      • 2.函数连续性定义 ①定义:设函数y=f(x)在点xo及其附近有定义. 如果△x→0,也有△y→0.即 lim△y=0. lim[f(x+xo)-f(xo)]=0. lim[f(x)-f(xo)]=0 △x→0. △x→0. x→xo limf(x)=f(xo) x→xo ②函数f(x)在点xo处连续的充分必要条件是:(三条同时满足) 1)f(x)在xo处有定义，f(xo)存在 2）limf(x)存在 x→xo 3)limf(x)=f(xo) x→xo ③分段函数在分段点的连续性:f(x)在xo处连续的充分必要条件是f(x)在xo处既左连续又右连续，即limf(x)=f(xo)=limf(x) x→xo- x→xo+ ④区间连续
      • 3.区间断点:三个条件之一 1）定义域以外的都是间断点 2）limf(x)不存在 x→xo 3)limf(x)≠f(xo) x→xo 间断点分类:第一类间断点(左右极限都存在):可去间断点,跳跃间断点 第二类间断点(有一边极限不存在):无穷间断点，震荡间断点(y=sin1/x)
    • 二、初等函数的连续性
      • 性质1:设f(x),g(x)在xo处都连续，则①f(x)±g(x) ②f(x)·g(x) ③f(x)/g(x)在xo处也连续
      • 性质2:若函数y=f(u)在u=uo处连续，函数u=Ψ(x)在x=xo处连续，且uo=Ψ(xo)，则复合函数y=f[Ψ(x)]在x=xo出连续
      • 所有基本初等函数在其定义域内都是连续的 故对初等函数，求极限就是求这一点的函数值
        • 可导必连续，连续不一定可导
    • 三、闭区间上连续函数的性质
      • 定理:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,则函数在闭区间[a,b]上必有最大值M与最小值m 推论:若函数在闭区间[a,b]上连续测函数在闭区间[a,b]上必有界
      • 定理:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则对介于f(a)和f(b)之间的任何数μ,至少存在一个ξ∈(a,b),使得f(ξ)＝μ 零点定理:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(f(a)·f(b)＜0),则至少存在一个ξ∈（a,b）使得f(ξ)=0
• 二、一元函数微分学
  • 一、倒数的概念
    • 1.导数的定义： ①设函数y=f(x)在xo及其领域内有定义,当自变量x在x0处有增量△x,函数相应的有增量△y.如果差商的极限存在,则称函数y=f(x)在x0处可导,且称此极限值为函数y=f(x)在x0处的关于x的导数,简称为y的导数 lim △y = limf(xo+△x)-f(xo) = lim. f(x)-f(xo) = f'(xo) △x→0. △x. △x→0. △x. x→△xo x-xo. 不管用任何字母 ②分段函数:分段函数f(x)在x0处可导的充分必要条件是 f(x)在x0处左导数f'-(xo)和右导f'+(xo)数都存在且相等 ③求导数:取增量△y,算比值△y／△x,求极限lim △y △x→0 △x
      • 如果该极限不存在(也包括极限为无穷大),就称f(x)在x0处不可导
    • 2.导数的几何意义 有切线／→可导/有导数 ←—
    • 3.函数与可导的关系 函数可导，则必连续 △y／△x→A. △x→0.△y→0
      • 可导必连续,连续不一定可导
  • 二、初等函数的导数
    • 1.反函数求导法则: 反函数的导数等于直接函数的导数的倒数: 如果函数x=Ψ(y)单调、可导,它的反函数y=f(x)也可导 则f'(x)=1/Ψ'(y)并把y换成x
    • 2.复合函数求导法: 设函数u=Ψ(x)在x处可导,函数y=f(u)在x点对应的u处可导,则复合函数yf[Ψ(x)]在x处可导,且其导数为 (f[Ψ(x)])'=f'(u)Ψ'(x) 把u换成x =f'[Ψ(x)]·Ψ'(x) 求外函数时，始终把内函数当做一个整体,令u=v
    • 3.隐函数求导法则 隐函数:方程F(x,y)有两个变量x,y函数式来确定 隐函数求导:①把所有的y看成x的函数.②两边关于x求导.③把含y'放在一边，含xy放在一边.④求导数y'(可能既含有x又含有y)
    • 4.对数求导法
    • 5.参数方程求导公式 f(x)由参数方程x=α(t)(有反函数t=α-¹(x))表示 y=β(t) 复合函数y=β()＝β[α-¹(x)]=f(x)关于x的导数为: f'(x)＝β'(t)／α'(t)
    • 6.高阶导数y(ⁿ) 高阶导数:二阶导数y'' 三阶导数y''' 四阶导数y(⁴)
  • 三、微分
    • 1.微分的概念 dy=A△x ①可微(dy=A△x)—→可导(f'(x)=A) ←— ②判段函数可不可微，就判断在xo处可不可导,可导则f'(x)=A df(x)｜x=xo =f'(xo)△x ③df(x)=f'(x)dx (一般都用这个) dy/dx=f'(x):导数成为微商 df(x)=f'(x)△x(只有题目告诉具体的x的增量时)
    • 2.基本初等函数微分公式和法则
    • 3.一阶微分形式不变性:对复合函数:dy=(f[g(x)])'dx=f'[g(x)]g'(x)dx 一阶微分形式不变性,仅仅是指微分的形式不变
    • 4.微分的应用
      • 近似计算△y=dy
  • 四、导数的应用
    • 1.中值定理
      • 费马定理 :设函数f(x)在点x0及其附近连续,且x=xo+△x在此领域内,总有f(x)≦f(xo)(或f(x)≧f(xo)),且当f'(xo)存在时,f'(xo)=0 f(xo)为最大值（或f(xo)为最小值）
      • 罗尔定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点ξ,f'(ξ)=0
      • 拉格朗日定理:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导,则在内至少存在一点ξ, f'(ξ)=f(b)-f(a)/b-a → f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a). (a＜ξ＜b)
      • 推论:若x∈(a,b),f'(x)≡0,则f(x)≡c (c为常数) 不是闭区间；若是闭区间，端点处单独算
    • 2.洛必达法则 ①当x→x0(x→∞)时,函数f(x)与g(x)都趋于0或趋于∞ ②当x→x0(x→∞)时，f'(x)和g'(x)都存在，且g'(x)≠0 ③limf(x)/g(x)存在或为无穷大(边算边验证) 当x→xo(x→∞)时,limf(x)/g(x)=limf'(x)/g'(x) 1)0/0. ∞／∞. 2) 0·∞. 3)0º,∞º,1∞.4)∞-∞
    • 3.函数的单调性和极值
      • 单调性: 设f(x)在区间(a,b)内可导f'(x)＞0,则在区间上f(x)单调递增 f'(x)＜0. 单调递减 求单调区间:①定义域②求导③用导数符号判定单增,单减区间 ④连续性把端点包进去
      • 极值:1)局部性质,可有多个 ,2)极大值不一定大于极小值,3)极大值不一定是最大值 设函数y=f(x)在xo处及其领域内有定义, 若f(x)＜f(xo):称f(xo)为f(x)的一个极大值,xo称为极大值点 f(x)＞f(xo):称f(xo) 极小值,xo 极小值点
        • 所有可能的极值点:驻点(f'(x)=0) 不可导点(不在函数定义域内或尖点)
      • 驻点:f'(x)=0的点，可导的极值点一定是驻点 用驻点判别极值: ①第一判别法:设函数f(x)在点xo领域内可导 1)xo左正右负:f(x)极大值. 驻点或不可导点 2)xo左负右正:f(x)极小值 f'(x)＞0或f'(x)＜0 ②第二判别法: 设函数f(x)在xo（只能判断驻点）点有二阶导数,且f'(xo)=0 1)若f''(xo)＜0,则f(xo)是f(x)的极大值 2)若f''(xo)＞0， 极小值
    • 4.函数的最大值和最小值 所有可能的最值点:端点值, ｜省了判断极值的过程, 极值:驻点,不可导点. ｜所有函数值一笔到最大值即可
    • 5.曲线的凹凸性和拐点
      • 设函数f(x)在[a,b]上连续,若对[a,b]上任意的x1,x2都有 f(x1+x2/2)＜f(x1)+f(x2)/2. 则称f(x)在[a,b]上是凹的 f(x1+x2/2)＞f(x1)+f(x2)/2. 凸
      • 曲线凹凸性发生了变化的点,称为拐点(拐点式坐标) f''(x)＞0.凹 f''(x)＜0.凸
        • 所有可能的拐点:f''(x)不存在 f''(x)=0
    • 6.函数曲线的渐近线 1)垂直渐近线:垂直于x轴 若lim f(x) =∞或lim f(x) =∞,则直线x=xo是曲线的垂直渐近线 x→xo+. x→xo- 2)水平渐进线:平行于x轴 若lim f(x) =A或lim f(x) =A,则直线是x=xo曲线的水平渐近线 x→+∞ x→-∞
• 第三章:一元函数积分学
  • 一、不定积分
    • 1.原函数与不定积分的概念
      • ①F'(x)=f(x),则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数 ②连续函数一定存在原函数 ③(F(x)+c)'=f(x),F(x)+c称为f(x)的原函数全体/原函数族
      • ①f(x)的原函数全体F(x)+c,称为f(x)在区间I上的不定积分,记作∫f(x)·dx = F(x)+c (c为任意常数):不定积分本质是函数 ∫:积分号 f(x):被积函数 f(x)dx:被积表达式 x:积分变量. c:积分常数(不能随意的丢掉) ②几何意义:函数f(x)的一个原函数F(x),表示一条积分曲线y=F(x) 积分曲线族(互相平行),方程y=F(x)+c
    • 2.不定积分的性质
      • 性质1: 不定积分的导数等于被积函数,不定积分的微分等于被积表达式 (∫f(x)dx)'=f(x). d∫f(x)dx=f(x)dx
      • 性质2:函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上任意常数 ∫f'(x)dx=f(x)+c. 或 ∫df(x)=f(x)+c
      • 性质3:非零常数因子可以由积分号内提出来 ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx (k≠0)
      • 性质4:函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和 ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
    • 3..基本积分公式:∫f'(x)dx=f(x)+c.:由求不定积分就是求原函数 ∫1dx＝∫dx=x+c. ∫1/√xdx=2√x+c P65
    • 4.换元积分法
      • 第一类换元积分法(凑分法):适用于被积函数是复合函数 ∫f[Ψ(x)]Ψ'(x)dx ——→∫f(u)du＝F(u)+c ＝ F[Ψ(x)]+c 令u=Ψ(x). 把u换回来
      • 第二类换元积分法:要有反函数 ∫f(x)dx＝∫f[Ψ(t)]Ψ'(t)dt＝Φ(t)+c＝Φ[Ψ-¹(x)]+c 其中t=Ψ-¹(x)为x＝Ψ(t)的反函数
        • 三角代换:1+tan²x=sec²x 1+cot²x=csc²x sin²x+cos²x=1
    • 5.分部积分法:被积函数是两个简单函数相乘,判断谁做u谁做v' ∫uv'dx＝uv-∫u'vdx
  • 二、定积分
    • 1.定积分的概念 当λ(λ＝max(△xi))→0时,和σⁿ总存在极限,则称极限I为f(x)在区间[a,b]上的定积分, ∫ⁿₐf(x)dx=limf(ξⁿ)△xⁿ=I ,则称f(x)在区间[a,b]上可积,[a,b]称为积分区间,a,b分别为积分下限和积分上限,σⁿ称为积分和 ①这个数值取决于被积函数和积分区间,与积分变量的字母关x,u,t ②和式极限存在,函数f(x)在闭区间上连续/有界,则f(x)在上[a,b]可积 ③a=b时,规定∫ⁿₐf(x)dx=0 a＞b时,规定∫ⁿₐf(x)dx＝-∫f(x)dx ④定积分存在是一个数 2.定积分的几何意义 . P81
    • 2.定积分的性质
      • 性质1:∫ₐⁿkf(x)dx＝k∫ₐⁿf(x)dx
      • 性质2:∫ₐⁿ[f(x)±g(x)]dx＝∫ₐⁿf(x)dx±∫ₐⁿg(x)dx
      • 性质3:∫ₐⁿ1dx＝∫ₐⁿdx＝b-a
      • 性质4:设a<c<b,∫ₐⁿf(x)dx＝∫ₐºf(x)dx+∫ºⁿf(x)dx:分段函数 分段点
      • 性质5.在区间[a,b]上,若f(x)≤g(x),则∫ₐⁿf(x)dx≤∫ₐⁿg(x)dx 推论1:在区间[a,b]上,有f(x)≥0(或f(x)≤0),则∫ₐⁿf(x)dx≥0(或∫ₐⁿf(x)dx≤0) 推论2:若a<b,｜∫ₐⁿf(x)dx｜≤∫ₐⁿ｜f(x)｜dx 推论3:M,m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值 m(b-a)≤∫ₐⁿf(x)dx≤M(b-a)
      • 性质6:积分中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ,使∫ₐⁿf(x)dx＝f(ξ)(b-a),ξ∈[a,b] 平均值:f(ξ)→
    • 3.定积分的计算
      • 1.微积分基本定理 ①积分上限函数φ(x)＝∫ₐxf(t)dt,x∈[a,b] ②若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则积分上限函数φ(x)＝∫ₐxf(t)dt在区间[a,b]上处处可导, φ'(x)＝d/dx∫ₐxf(t)dt=f(x),x∈[a,b] ③若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且F(x)为f(x)的一个原函数,则 计算定积分:∫ₐⁿf(x)dx＝F(x)｜ₐⁿ＝F(b)-F(a) :找原函数,带上下限值作差
        • 变上限函数，变下限函数， 变上限复合函数，变下限复合函数， 上下限均复合函数P85
      • 2.定积分的换元积分法 已知函数f(x)在[a,b]上连续 f(x)为奇函数,φ(x)=0 偶 φ(x)=2
      • 3.定积分的分部积分法 ∫ₐⁿudv＝uv｜ₐⁿ-∫ₐⁿvdu
  • 三、定积分的应用
    • 1.微元法 1)确定所求量A和自变量x及x的变化范围[a,b] 2)任取x∈[a,b],给x一个增量dx,则区间[x,x+dx]可视为[a,b]上的任意小区间,且将该区间上A的局部量计为△A,并求出△A的近似值△A≈f(x)dx,其中f(x)为区间[a,b]上的连续函数,称f(x)dx为所求量A的微元(分),记为dA=f(x)dx 3)将A的微元从a无限累加到b,便得到所求的量A A=∫ₐⁿdA＝∫ₐⁿf(x)dx
    • 2.平面图形的面积
      • 1.由曲线y=f(x)和直线x=a,x=b及x轴所围的图形面积 A=∫ₐⁿ｜f(x)｜dx
      • 2.由曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)≥g(x))与直线x=a,x=b(a≤b)所围成的图形面积 A=∫ₐⁿ[f(x)-g(x)]dx
        • 上下两曲边 左右两直边
      • 3.由曲线x=Ψ(y)与直线y＝c,y＝d(c≤d)及y轴所围成的图形的面积 A=∫ₐⁿ｜Ψ(y)｜dy
      • 4.由曲线x=Ψ(y),x=Φ(y)(Ψ(y)≥Φ(y)),y＝c,y＝d(c≤d)围成的图形面积 A=∫ₐⁿ[Ψ(y)-Φ(y)]dy
        • 上下两直边 左右两曲边
    • 3.旋转体体积
      • 1.绕x轴旋转:V=π∫ₐⁿf²(x)dx
      • 2.绕y轴旋转:V=π∫ₐⁿf²(y)dy
    • 4.定积分在医药学上的应用
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