数值分析

参考教材：清华大学出版社《数值分析》，主要内容为误差、多项式插值、最小二乘法、数值微分与数值积分、解线性方程组的直接法与迭代法、解非线性方程组、常微分方程求初值章节易考公式。

数值分析

• 误差
  • 有效数字
  • 绝对误差限
    • 最后数位上半个单位
    • 与有效数字
  • 相对误差限
    • 与绝对误差限
    • 与有效数字
  • 函数绝对误差限
• 多项式插值
  • 余项定理
  • 拉格朗日插值
    • lix拉格朗日基函数
      • 性质
    • Pnx拉格朗日多项式
  • 牛顿插值Nnx
  • 埃尔米特插值
  • 差商
  • 三次样条插值
    • 边界条件
• 最小二乘法
  • 步骤
    • 线性化
    • 带入数据点得到过定方程
    • 建立法方程组
    • 求解β
• 数值积分与数值微分
  • 数值微分
    • 三点公式
    • 三点差分公式（二阶三点公式
  • 数值积分
    • n表示几等分，节点数=n+1
    • N-C公式
      • n为偶数，N-C代数精度至少为n+1；奇数：n
      • 梯形公式n=1代数精度=1
      • Simpson公式n=2 代数精度=3
      • cotes公式n=4 代数精度=5
      • 科特斯系数加和=1
    • 复化求积公式
      • 复化梯形
      • 复化Simpson
    • 高斯求积公式 2n+1
      • • 换限
        • 代表格
        • 高斯系数Ck加和=2
• 解线性方程组直接方法
  • 高斯消去、高斯列主元消去
    • 高斯消去法：L=-系数，111；U=上三角
    • 列主元：先换行，把第一列绝对值最大的放到第一行
  • A=LU分解
    • A可作LU分解：A顺序主子式≠0
    • A=[ 111][ ]
      • Ly=b
      • Ux=y
  • 平方根法A=LLT
    • A可作LLT分解：A顺序主子式＞0
    • 改进的平方根法A=LDLT
      • A=[ ][ ][ ]
        • A=LU分解
        • D为U主对角线
        • L与LT对称
    • A=[ ][ ]
  • A=D-L-U分解
    • A =[主对角线]+[ ]+[ ]
  • 范数
    • 2范数
    • 条件数
• 解线性方程组迭代法
  • 雅可比迭代
  • 高斯-赛德尔迭代
  • 谱半径
  • SOR迭代法的必要条件
• 解非线性
  • 二分法
    • 误差
    • e.g.
      • 二分两次后根的区间
        • 用导数证明单调
      • 多少步精确到小数点后六位
  • 不动点迭代
    • 等价迭代形式
    • 敛散性
      • 收敛阶
        • eg:至少平方收敛到2
        • 不动点条件
          • f(2)=2
        • 至少二阶收敛
          • f'(2)=0
  • 牛顿迭代
    • • 收敛阶
• 常微分方程求初值
  • 欧拉方法
  • 改进欧拉法