函数极限连续(1)

考研数学二，函数极限连续部分的知识点，做题方法，这份笔记为学习极限理论提供了丰富的内容和详细的解释，涵盖了函数极限连续基本概念、性质、定理以及应用，适合数学专业学生和对数学感兴趣的读者深入学习。快收藏下来把，以便考试复习！

函数极限连续

• 1. 函数
  • 1.1. 知识点
    • 1.1.1. 函数概念
      • 1.1.1.1. 注意点
        • 定义域是指自变量的取值范围
    • 1.1.2. 常见函数
      • 1.1.2.1. 复合函数
        • 注意点
          • 成立条件
      • 1.1.2.2. 反函数
        • 注意点
          • 唯一，x,y一一对应
    • 1.1.3. 函数性态
      • 1.1.3.1. 单调性
        • 定义
          • 1. 函数 y=f(x) 在某区间 I 上有定义，I上任意两点 x1, x2 ,当x1<x2时，f(x1)<f(x2), 则称函数为单调增加。
          • 2. 当x1<x2时，恒有f(x1)≤f(x2), 则称函数为单调不减(条件比单调增加弱)。
        • 判定
          • 定义
          • 导数（已知函数可导）
            • 1. f ' (x) > 0 是 f (x) 单调增加的 充分不必要条件
              • 例子：y=x^3
            • 2. f ' (x) ≥ 0 是 f (x) 单调不减的 充要条件
          • 一阶导数连续性未知时，单点处的一阶导符号不能确定该点领域内函数的单调性，二阶导也一样。
        • 注意
          • 单调增和单调不减
      • 1.1.3.2. 奇偶性
        • 定义
          • 函数 y = f(x) 的定义域 D 关于原点对称，对于任一 x ∈ D ，恒有f(-x) = f(x) ，则f(x)为D上偶函数。 f(-x) = -f(x) 为奇函数
        • 判定
          • 定义
          • 导数（已知函数可导）
            • f(x) 是 奇函数 是f ' (x) 是 偶函数 的充分不必要条件。
              • 例子：f ' (x)=x^2
            • f(x) 是 偶函数 是f ' (x) 是 奇函数 的充要条件。
          • 连续函数的原函数
            • 连续奇函数的原函数都是偶函数
            • 连续偶函数的原函数只有一个是奇函数
              • 因为奇函数加上常数就不是奇函数了，偶函数加上常数还是偶函数
            • 证明加补充
            • 变限积分奇偶性
      • 1.1.3.3. 周期性
        • 定义
          • 存在正实数 T ，对于任意 x ，恒有 f(x +T) =f ( x ) ,则称之为周期函数 ， T为最小正周期。
        • 判定
          • 定义
          • 导数（已知函数可导）
            • 函数有周期 是 其导函数为周期函数的 充分不必要条件
              • 例子：f(x)=sinx+x不是周期函数 f'(x)=cosx+1是周期函数
          • 原函数是周期函数有条件
            • 周期函数原函数不一定是周期函数，有条件
              • 条件：一个周期内的函数积分为0
            • 证明：
      • 1.1.3.4. 有界性
        • 定义
          • 存在 M > 0, 任意 x ∈ I ,| f ( x ) | ≤ M, 则称f ( x ) 在I上有界。
        • 判定
          • 定义
          • 一阶导数在有限区间上连续
            • f ' (x) 在有限区间 I 上有界 是 f (x)在 I 上有界的充分不必要条件
              • f(x)=x^1/2有界，f'(x)无界
              • f'(x)=sinx有界，f(x)有界
            • 证明：可利用拉格朗日证明
          • 闭区间连续
            • f ( x ) 在[a , b] 连续是 其在[a , b] 有界的充分不必要条件
              • y=1/x
          • 开区间连续，趋向左右的极限存在(可趋向左右∞)
            • f ( x ) 在（a , b） 连续，且f(a+)和f(b-)存在，是其在(a , b)有界的充分不必要条件
        • 相互关系
          • 无穷小*有界=0
          • 极限不存在也可能有界
  • 1.2. 考试题型归纳
    • 1.2.1. 复合函数
    • 1.2.2. 函数性态
      • 1.2.2.1. 方法
        • 定义
        • 特殊值法
        • 反证法
          • 将结果取反，条件不变
• 2. 极限
  • 2.1. 极限概念性质，存在准则
    • 2.1.1. 极限概念
      • 2.1.1.1. 数列极限
        • • 几何意义
        • 极限如果存在，极限值与前有限项无关
      • 2.1.1.2. 函数极限
        • 自变量趋于无穷大
        • 自变量趋于有限值
          • • 注意：x→x0 , x≠x0 f(x)→A , f(x)=A
          • 要区分左右极限
            • 分段函数分界点（包含带有绝对值的函数）
            • e的∞次方
            • arctan∞
    • 2.1.2. 极限性质
      • 2.1.2.1. 局部有界性
      • 2.1.2.2. 保号性
        • • • 求极限时充分条件2，已知f''(x)>0,f''(x)二阶连续可导，只能推得lim(x→x0)f''(x)=f''(x0) ≥ 0，所以不能用充分性2，只能往前推用f'（x）做题
        • 沿伸
          • 保序性
      • 2.1.2.3. 极限值与无穷小的关系
    • 2.1.3. 极限存在准则
      • 2.1.3.1. 夹逼准则
        • 使用题型
          • n项和
          • 需要算出极限值的题
        • 做题步骤
          • 子主题
      • 2.1.3.2. 单调有界准则
        • 使用题型
          • x(n+1)=f(xn),递推关系的
          • 只要求是否收敛的
        • 注意
          • 不等式
            • sinx<x<tanx (0,pi/2) x/1+x<ln(1+x)<x x>0
          • 做题步骤
            • 单调性：两个变量相减，凑成题目中所给的条件判断±
            • 有界性：变换形式，简化函数式
    • 2.1.4. 无穷小
      • 2.1.4.1. 概念
      • 2.1.4.2. 比较
      • 2.1.4.3. 性质
    • 2.1.5. 无穷大
      • 2.1.5.1. 概念
      • 2.1.5.2. 比较
      • 2.1.5.3. 无穷大和无界变量关系
        • 关系
          • 无界变量 x 无界变量≠无界变量
          • ∞ x ∞=∞
      • 2.1.5.4. 无穷大和无穷小关系
  • 2.2. 考试题型归纳
    • 2.2.1. 求极限
      • 2.2.1.1. 常用方法
        • 有理运算法则
          • 前提是极限存在
          • 两个极限相加存在性与不存在性
        • 常用基本极限
        • 等价无穷小代换
          • 原则
            • 上下同阶才可以替换
            • 不能抵消
          • 常用
            • 注意：三角函数的无穷小代换可以推得泰勒公式
          • 变限积分也可以代换
        • 洛必达
          • 使用前提
        • 泰勒公式
          • 泰勒展开原则
            • a/b
              • 上下同阶
            • a-b
              • 留差，不能减为0
            • 复合函数展开时要注意展完全，不要漏项
        • 夹逼准则
          • 变化部分max/主体部分=次量级 0
            • 连续平方和公式 1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：n^2=n的平方)。
        • 单调有界准则
        • 定积分
          • 变化部分max/主体部分=同量级 C
      • 2.2.1.2. 常见类型
        • 化简函数时常用方法
          • 同名函数相减
            • 拉格朗日中值定理
          • 根号相减
            • 有理化
          • 多项式相除，拆项计算
            • 有极限的项可以拆出
          • 常用公式
            • 平方和公式
              • n(n+1)(2n+1) / 6
        • 函数极限
          • 7种不定式
            • 0/0
              • 常用方法
                • 洛必达
                  • 含有变限函数
                  • 注意
                    • 含有抽象函数时，不知可导性不可用
                • 等价无穷小代换
                  • 注意
                    • 要求同阶，可利用增减项来实现阶数相同
                • 泰勒公式
                  • 注意
                    • 含有抽象函数时不方便
                • 变上限积分求极限：利用积分中值定理，约去0因子
              • 步骤
                • 先看能不能等价代换，用泰勒公式，不能再考虑洛必达
            • ∞/∞
              • 常用方法
                • 洛必达
                  • 洛之前看一下能不能先代换，简化运算
                • 分子分母同时除以最高阶的无穷大
                • 抓大头（选择填空）
            • ∞-∞
              • 常用方法
                • 分式差：通分化为0/0
                • 根式差：有理化
                • 提取无穷因子，再等价代换，泰勒。。。
            • 0*∞
              • 常用方法
                • 化为0/0 ∞/∞
            • 1^∞
              • 常用方法
                • 三步法
                  • 标准式
                  • 极限
                  • 结果
                • 注意
                  • 求极限不能分开求，分母分子都要求极限，不能先用三步法求分子。这时就要用到幂指函数来求
                • 不易拆为标准式时，可转为幂指函数做
                  • n项相乘
            • 0^0 ∞^0
              • 常用方法
                • 转为幂指函数
        • 数列极限
          • 不定式
            • 注意：数列不能直接用洛必达，可以转为函数极限再用
            • 常用方法
              • 除了洛必达，和函数一样
          • n项和的数列极限
            • 常用方法
              • 夹逼准则
              • 定积分
              • 先夹逼，化为合适形式，再定积分
                • 有些分子分母都有n的。
            • 结论
          • n项连乘的数列极限
            • 常用方法
              • 夹逼准则
              • 取对数化为n项和
              • 只要求判断极限是否存在，可用单调有界准则
          • 递推关系（x1 = a, xn+1 = f(xn) ）
            • 做题思路
              • 数列具有单调性
                • 先证明收敛（单调有界准则）
                  • 证明收敛顺序1
                    • 先证有界
                      • 归纳法
                        • 常用于数列有界性，通过前几项设出界，再归纳
                      • 常用不等式
                    • 后单调
                      • 数列单调性一般做差或相除
                  • 证明收敛顺序2
                    • 先证单调
                    • 后有界
                      • 先将极限设出来，知道范围后再用归纳法
                      • 适合那种已知x1,x2...xn的
                • 设极限值，代入等式求解
                  • 代入求得极限的值
                  • 利用保号性，保序性，舍去错误的解。
                • 注意
                  • 有两问的，第一问可以协助证明
              • 数列不具有单调性/难求
    • 2.2.2. 确定极限中的参数
      • 2.2.2.1. 一般方法
        • 求极限，求得过程中得到参数值
        • 分开求，求出一个参数之后，将其代入原式再求，不能接着上一个的基础再求
    • 2.2.3. 无穷小量的比较
      • 2.2.3.1. 一般方法
      • 2.2.3.2. 快速方法
        • 估阶法，除以x^k，得到常数，求极限得到k
        • 变限积分阶数
          • 满足条件后，对内部被积函数进行代换
          • 上下限都存在，只看阶数较低的一项
      • 2.2.3.3. 注意
        • 两个阶数相加，阶数较低的那个决定最后的阶数
        • 偶函数只有偶次阶数，选择题可快速判断
    • 2.2.4. 证明题
      • 2.2.4.1. 已知极限等式，求另一个函数f(x)
        • 脱帽法求f(x)
          • 根据极限与无穷小量的关系，设出极限的具体值
          • 化简，利用泰勒公式等方法
      • 2.2.4.2. 证明数列极限存在
        • 单调有界准则
        • 夹逼准则
• 3. 连续
  • 3.1. 概念
    • 3.1.1. 连续概念
      • 3.1.1.1. 函数在 一点的极限值 = 该点的函数值，则称函数在该点连续
      • 3.1.1.2. 定理
    • 3.1.2. 间断点及类型
      • 3.1.2.1. 概念
        • 函数在x0某去心领域 有定义，在x0处不连续，称该点为函数的间断点
      • 3.1.2.2. 分类
        • 第一类（左右极限都存在）
          • 可去间断点
            • 左极限=右极限
          • 跳跃间断点
            • 左极限≠右极限
        • 第二类（左右极限至少有一个不存在）
          • 无穷间断点
            • 左右极限至少有一个为∞ ,f(x) =1/x
          • 振荡间断点
            • f(x) = sin(1/x)
    • 3.1.3. 连续函数的性质
      • 3.1.3.1. 连续函数的 和差积商复合 仍为连续函数
      • 3.1.3.2. 基本初等函数在其定义域（唯一的）上连续，初等函数在其定义区间（不唯一）上连续
      • 3.1.3.3. 闭区间上连续函数的性质（ 已知f(x)在[a,b]上连续 ）
        • 有界性
          • f(x)在[a,b]有界
        • 最值性
          • f(x)在[a,b]必有最大值，最小值
        • 介值性
          • f(a) ≠ f(b), 对于f(a) 和 f(b)内任一数C，至少存在一点 ，使该点的函数值=C
          • 推论：f(x)可取到min和max间的任意值
        • 零点定理
          • f(a) * f(b) <0,存在一点∈（a,b），使该点的值=0
  • 3.2. 考试题型归纳
    • 3.2.1. 讨论连续性及间断点类型
      • 3.2.1.1. 连续性
        • 利用概念，性质
      • 3.2.1.2. 间断点
        • 多个函数复合的间断点存在判断
          • 可用反证法，简化运算
        • 指出函数间断点类型
          • 找无定义点
            • 分母为0的点
            • 该点为无穷大，ln0
            • 有绝对值考虑正负是否都为间断点
              • 开根号要加绝对值
          • 挨个点判断类型，注意有些需要分别看左右极限
        • 指出极限的间断点类型
          • 找无定义点
          • 求x≠无定义点时的函数极限
          • 挨个点判断，可能会有多的间断点，比如分段函数
        • 分段函数间断点
          • 先分段列出函数
          • 找间断点
            • 函数不连续点
            • 无定义点
    • 3.2.2. 介值定理，最值定理，零点定理证明
      • 3.2.2.1. 一般思路，看题目，利用条件，综合使用定理
      • 3.2.2.2. 求证等式成立的，左右都有任意数ξ
        • 构造新函数，注意定义域变化
        • 再证明存在零点
          • 零点定理
          • 利用题目中条件推测，反证，保号性（条件中有极限） 不要直接算，利用单调性，题目条件推得零点个数