导图社区 一元函数积分学
知识点,方法论,是一个详细的微积分解题思维导图,强调了根据题目条件选择适当的解题方法的重要性。它提到了使用直角坐标和极坐标的方法,以及如何选择最佳的积分顺序来简化计算。如果无法一次性求解,建议拆分积分区域。
编辑于2024-05-28 17:14:03这是一个关于一元函数微分学的思维导图,是一个很好的学习资源,特别是对于那些正在学习微积分或相关领域知识的人来说。它提供了一个清晰的框架,帮助学习者系统地理解和掌握各种数学概念和解题方法。
知识点,方法论,是一个详细的微积分解题思维导图,强调了根据题目条件选择适当的解题方法的重要性。它提到了使用直角坐标和极坐标的方法,以及如何选择最佳的积分顺序来简化计算。如果无法一次性求解,建议拆分积分区域。
方法论,概念,知识点,展示了一个关于数学中微分方程及其相关概念、方法和求解技巧的思维导图,突出了“导数”这一基本概念,这是理解微分方程的基础。接着,它深入讨论了可分离变量方程、齐次方程、换元法等微分方程求解的常见方法。每个方法下,都附有具体的求解步骤或示例,如“换元,转为一阶微分方程”,“利用导数定义,求极限”等。结构清晰,内容详实,是一个非常有用的参考工具。
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这是一个关于一元函数微分学的思维导图,是一个很好的学习资源,特别是对于那些正在学习微积分或相关领域知识的人来说。它提供了一个清晰的框架,帮助学习者系统地理解和掌握各种数学概念和解题方法。
知识点,方法论,是一个详细的微积分解题思维导图,强调了根据题目条件选择适当的解题方法的重要性。它提到了使用直角坐标和极坐标的方法,以及如何选择最佳的积分顺序来简化计算。如果无法一次性求解,建议拆分积分区域。
方法论,概念,知识点,展示了一个关于数学中微分方程及其相关概念、方法和求解技巧的思维导图,突出了“导数”这一基本概念,这是理解微分方程的基础。接着,它深入讨论了可分离变量方程、齐次方程、换元法等微分方程求解的常见方法。每个方法下,都附有具体的求解步骤或示例,如“换元,转为一阶微分方程”,“利用导数定义,求极限”等。结构清晰,内容详实,是一个非常有用的参考工具。
函数积分学
一元函数积分学
不定积分
概念
两个基本概念
原函数
存在性
不定积分
原函数连续
性质
常用公式
积分公式
三种主要积分法
凑微分法
常见形式,两个函数,a是b的导数,可以把a改为db,最后函数从/f(b)adx换为/ f(b)db
第二类换元法
将x替换为含t的函数,方便运算,再转为反函数形式,得到原始答案。
常用
分部积分法
适用于两类不同类型函数相乘
使用原则
三类常见可积函数积分
有理函数积分
三角有理式积分
简单无理函数积分
常考题型
计算不定积分
常见复杂题型常用方法
含有根号
分母含根号的较为复杂初等函数分式
凑微分,分部积分,换元去根号来综合使用
较为简单的两数相乘,为二次式
配方,凑微分,利用公式
与三角函数有关
换元
常用公式
secx^2=1+tanx^2
(tanx)'=secx^2
有理数积分
函数有理式
高阶
凑微分降幂
拆分
加减项,转换形式,消项
真分式
分母
因式分解,配完全平方
拆分
分子
凑微分
三角有理式
求积分
两个相乘/平方和
符合奇偶条件
换元,分部
各项相加
三角恒等变形,拆分
三角诱导公式
例如:1/(1+sinx) 的积分,可转为1/(cosx/2)^2,再利用公式
万能公式
含未知参数
有两个参数
分开讨论求解
两种函数相乘
一般直接分布不易求解,可先凑微分或换元,再分部,利用公式
无理数积分
换元
分子有理化
不定积分杂例
已知含函数的积分等式,求函数及变换的不定积分
利用题目条件转换求解
已知函数原函数,求函数及变换形式的不定积分
已知函数及其原函数的等式,求函数表达式
化简,求导间接得到题目条件
已知函数求原函数,函数与导数内部参数不一致
换元
对内部积分,再还原,每次的常数都不一样,分别代入求解
被积函数为带绝对值的指数函数
分段函数,要根据分段点的连续性对积分不同参数建立联系(被积函数连续,原函数连续)
定积分
概念
定积分概念(数值)
1.1定义:f(x)在【a,b】有定义有界, 1.分割2.求和3.取极限
几何意义
注意
要满足上限>下限,否则不能用几何意义
可积性
定积分计算
牛顿 -莱布尼兹公式
换元积分法
分部积分法
奇偶性和周期性
利用公式
华里士公式
三角变换公式
几何公式
定积分性质
不定式
积分中值定理(上限-下限为常数)
变上限积分
定理
求导类型
换元
换元
性质
连续性
可导性
奇偶性
和原函数区分开
常考题型
定积分
概念
性质
求极限
提取可爱因子
上限-下限为常数的情况
常用积分中值定理
上限下限不变的情况
夹逼放缩
常用不等式关系
常用第二种积分中值定理
两个函数相乘
注意
积分中值定理中的克斯依赖积分区间和被积函数,如有x^n,n→∞,随着n不同,克斯也不同,会变化
几何意义
已知被积函数图像,求变限积分
注意几何意义使用条件
变上限函数奇偶性
定积分计算
做题步骤
定义区间关于原点对称?
对称
奇偶性
简化运算
无奇偶性,很难求原函数
区间再现法(令x=上下限之和➖t)
可再利用原函数约去一部分,简化运算
特别是三角函数,上下限含π的
几何意义
分母带根号,内含平方的,利用圆的面积快速求解
不对称
被积函数含三角函数
整函数
上限/下限含有π
周期性
定积分周期函数,上下限差为一个周期,任意区间的值都一致
上限中的n可提取
结论公式化简
上下限为常数
分数函数
区间再现公式(上下限之差为π/2)
三角诱导公式
通用法
被积函数为变限积分
分部积分法
累次积分,画图,交换积分次序,方便运算
被积函数为分段函数
注意积分上下限要与分段函数定义域相匹配
可通过换元来使上下限与分段区域匹配
被积函数为导数
分部积分
凑微分化简,再分部
累次积分,交换次序
被积函数为定积分
设为常数,凑形式求解,利用题目条件凑,约去无关项
变上限积分函数及其应用
变上限积分性质
奇偶性
变限函数和被积函数
原函数和连续函数
周期性
含变限积分的求极限
洛必达
变限积分等价代换
积分中值定理
不等式
常用不等式关系放缩
等式
反函数复合
等式中含有两个变量
先对一个求导,再对另一个求导
积分不等式
选择填空
比较定积分大小
利用常见不等式关系化简
证明题
证明积分不等式
左右积分的大小关系,不等式,被积函数为连续函数
关注上下限
不一样
凑出相同的上下限,合并同类项,再利用题目条件,结合积分中值定理解决
可拆分项,变量代换来凑上下限
已知函数单调性
将某一限变量化,转为变限积分,再构造新函数,转为函数不等式,利用单调性求解
一样(为常数)
已知函数单调性
将某一限变量化,转为变限积分,再构造新函数,转为函数不等式,利用单调性求解
注意
证明题第二问通常会用到第一问的结论,要注意
被积函数含有导数,f'(x)和f(x)联系
用牛顿莱布尼茨公式将f(x)和f'(x)联系起来,积分中值定理将积分转为函数
带绝对值的
注意放缩
被积函数含有平方
柯西不等式
反常积分
概念
无穷区间上的反常积分
定义
判定敛散性
常用方法
比较判别法(大收小收,小发大发)
比较法的极限形式(大收小收,小发大发)
结论
无界函数的反常积分
定义
瑕点,瑕积分
敛散性判别
常用方法
比较判别法(大收小收,小发大发)
比较法的极限形式(大收小收,小发大发)
结论
常考题型
反常积分敛散性
常用方法
P积分
比较法
定义
常见题型
积分含有瑕点和无穷区间
拆分,只能含有一个
较为复杂题型
比较审敛法和P积分组合使用
反常积分计算
常用方法
换元
分部积分
常见题型
计算题
证明题
上下限喂为倒数关系时,在没有思路的情况下,可以倒代换尝试
定积分应用
1、几何应用
1.1平面图形面积
1.2旋转体体积
公式看情况推导,先x后y,还是先y后x。哪个方便用哪个
1.3曲线弧长
1.4旋转体侧面积
物理应用
变力沿直线所做的功
液体的压力
引力
题型
选择
填空
常用公式
子主题
质心坐标
子主题
计算
定积分计算
两类函数相乘
一般不易直接求,先凑微分,再分布积分
被积函数带根号,根号内含平方项,一次项,配方,三角代换
求原函数
函数表达式中含有定积分,设定积分为常数,解方程
求定积分极限
先求定积分,再求极限
函数在区间的平均值
定积分/区间长度
证明
二重积分
概念
1.二重积分的概念
1.1定义
1.2几何意义
2.二重积分的性质
2.1不等式性质
2.2中值定理性质
二重积分的计算
直角坐标
极坐标
奇偶性
轮换对称性
常考题型
计算二重积分
做题思路
计算题
常规形式
画出定义区间
关于x/y轴对称
利用奇偶性
关于y=x对称
利用轮换对称性
观察被积函数
利用函数关于x/y的奇偶性,和D的对称性,化简二重积分
选用坐标系计算
直角坐标系
两种顺序
先x后y/先y后x
适用范围
不用极坐标就用直角坐标
注意
尽量选用能一次求解的顺序,如不能就拆分积分区域
被积函数只有x的时候,尽量先y后x
极坐标系
三种方法
公式法
适用于积分区域圆心在坐标轴上
先平移
➕公式法
适用于积分区域圆心不在坐标轴上
理解为平移坐标轴,看成圆心在坐标轴上
➕奇偶性
平移坐标轴之后利用奇偶性求解(有时特别简单)
适用于被积函数平移后变换的部分相较于新坐标轴有奇偶性
形心公式
适用范围
遇到适合的被积函数或者积分域
注意
有些题目需要两种方法结合使用,根据题目来选择,不固定
特殊形式
被积函数特殊
二元分段函数
含绝对值
分区域去绝对值
一般分完后,都是一个好算,一个不好算,利用拼凑简化运算
不确定
利用条件分区域确定
积分区域特殊
为参数方程
思路
先代入特殊值,画出积分区域D
二重积分转为累次积分,先求内层的
代入参数方程,求解积分,注意上下限也要变化
积分区域未知/为全平面
被积函数为两个分段函数乘积,利用分段区域找出积分区域
条件特殊
已知定积分
求累次积分
利用牛顿莱布尼茨公式
轮换对称性
选填题
善用特殊值法来排除
累次积分交换次序及计算
交换次序
直角变直角
先画定义区域
注意±
极坐标转极坐标
先角度后r,理解为固定半径往外扩散,角度分情况(圆就是变化的,线不变)
极坐标转直角坐标
画出积分区域
补充,极坐标转直角坐标,求导
一般曲线的极坐标和直角坐标的转换,利用三角公式和r得到 y(△) ,x(△),再利用 dy/d△,dx/d△
直接法,将r,△转为直角坐标,利用反函数,题目条件,得到f(x,y ),利用偏导数求导
注意
满足上限>下限,否则要加负号
计算累次积分
画出积分区域
不易求解的交换次序或者换元求解
子主题
证明二重积分等式成立
等于定积分
画出积分区域
如被积函数较为复杂,可换元
再累次积分,交换次序求解
与二重积分有关的综合题
被积函数为含二重积分的等式
设二重积分为常数,代入求解
与二重积分有关的积分不等式问题
巧用柯西不等式(两个被积函数为平方的定积分乘积≥两个去²的数的乘积的定积分的²)
轮换对称性,奇偶性常用
易错点
上下限选取错误
积分区域定位错误
计算错误