导图社区 一元函数微分学
这是一个关于一元函数微分学的思维导图,是一个很好的学习资源,特别是对于那些正在学习微积分或相关领域知识的人来说。它提供了一个清晰的框架,帮助学习者系统地理解和掌握各种数学概念和解题方法。
编辑于2024-05-28 17:14:26这是一个关于一元函数微分学的思维导图,是一个很好的学习资源,特别是对于那些正在学习微积分或相关领域知识的人来说。它提供了一个清晰的框架,帮助学习者系统地理解和掌握各种数学概念和解题方法。
知识点,方法论,是一个详细的微积分解题思维导图,强调了根据题目条件选择适当的解题方法的重要性。它提到了使用直角坐标和极坐标的方法,以及如何选择最佳的积分顺序来简化计算。如果无法一次性求解,建议拆分积分区域。
方法论,概念,知识点,展示了一个关于数学中微分方程及其相关概念、方法和求解技巧的思维导图,突出了“导数”这一基本概念,这是理解微分方程的基础。接着,它深入讨论了可分离变量方程、齐次方程、换元法等微分方程求解的常见方法。每个方法下,都附有具体的求解步骤或示例,如“换元,转为一阶微分方程”,“利用导数定义,求极限”等。结构清晰,内容详实,是一个非常有用的参考工具。
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这是一个关于一元函数微分学的思维导图,是一个很好的学习资源,特别是对于那些正在学习微积分或相关领域知识的人来说。它提供了一个清晰的框架,帮助学习者系统地理解和掌握各种数学概念和解题方法。
知识点,方法论,是一个详细的微积分解题思维导图,强调了根据题目条件选择适当的解题方法的重要性。它提到了使用直角坐标和极坐标的方法,以及如何选择最佳的积分顺序来简化计算。如果无法一次性求解,建议拆分积分区域。
方法论,概念,知识点,展示了一个关于数学中微分方程及其相关概念、方法和求解技巧的思维导图,突出了“导数”这一基本概念,这是理解微分方程的基础。接着,它深入讨论了可分离变量方程、齐次方程、换元法等微分方程求解的常见方法。每个方法下,都附有具体的求解步骤或示例,如“换元,转为一阶微分方程”,“利用导数定义,求极限”等。结构清晰,内容详实,是一个非常有用的参考工具。
一元函数微分学
一元函数微分学
导数与微分
概念
导数概念
函数在某点的改变量
定义
形式(一动+一静)
定理
微分概念
函数改变量的近似值,线性主部
定义
定理
导数与微分几何意义
某点导数f'(x0)为该点切线的斜率
微分dy为曲线切线上的增量
连续,可导,可微之间的关系
例子
注意
用洛必达证明可导性时
f(x)在n阶可导,洛必达最多可用到n-1阶导数
f(x)在n阶连续且可导,洛必达最多可用到n阶导数
求导公式
求导法则
有理数运算法则
乘除求导公式
复合函数求导法
链式法则
隐函数求导法
反函数的导数
参数方程求导法
对数求导法
多个因式相乘
幂指函数的形式
高阶导数
排列组合公式
常用法
归纳法
导数的莱布尼茨公式
麦克劳林公式展开
常考题型
导数与微分的概念
导数的概念
利用导数定义求极限
已知某点导数的值或者导数存在,求极限
凑形式,再代入题中条件
利用极限的方法直接求
选填题,设具体函数代入求解
利用导数定义求导数
利用两种求导公式求解
利用导数定义判断函数可导性
选填题,设具体函数代入求解
直接法,凑形式
导数概念定理使用条件
已知f(x)可导性,判断 | f(x) | 可导性
简便结论
多个函数相加减可导性变化
可导+可导=可导
可导+不可导=不可导
求解不可导点
选填题
几何图像法
常规步骤
找出可能的不可导点
再依次判断
可导充要条件,分别看左右导数是否存在相等
简便定理
证明题
分段函数可导性
分段求解
连续区间
求导法则,直接对等式求导
分段点
导数定义
注意:原函数几阶可导,不要乱求,超过阶数只能用定义
导数的几何意义
求切线,法线方程
已知极坐标
将极坐标变化为直角坐标形式,再对其进行求导
已知两条曲线相切求参数
列出条件:切点处导数相等,函数值相等
导数与微分的计算
常用方法
奇偶性判定,简化运算
类型
复合函数
内外层都可导
链式法则(优先考虑)
内外层有不可导的
把式子列出后再用公式求导
分段求解
连续区间
求导法则,直接对等式求导
分段点
导数定义
隐函数求导
注意
求导过程中可利用原方程化简
两端对x求导,有y则需要加dy/dx,有y'则直接写为y''
求二阶导数
不用把一阶化简出来,直接再式子两端对x求导便可
参数方程求导
纯参数方程
利用一阶导数公式推导二阶导数
参数方程+隐函数
用二阶导数公式
反函数求导
二阶导数
先求出一阶导数,再推导求出二阶导数
对数求导法
使用题型
连×,连÷,幂指函数
高阶导数
直接求高阶导数
求一阶,二阶往后推导
代入公式
高阶三角函数
先降阶,再代入公式
具体点的高阶导数
泰勒公式
u*v
代入泰勒公式,求出x^n项,其系数为an,所以n阶导数为an*n!
导数应用
概念
微分中值定理
探究导数与函数的关系
4大常用定理
f'(x)与f(x)关系
罗尔定理
拉格朗日定理
柯西定理
f(x)的n阶导数与f(x)关系
泰勒定理(拉格朗日余项)
4大中值定理关系
可利用罗尔定理构造辅助函数推导拉格朗日定理和柯西定理
极值与最值
极值
概念
可能极值点
驻点,导数不存在的点
判定条件
必要条件(f(x)在x0去心邻域内可导,f'(x0)=0,或者在x0处连续)
函数在x0处可导,x0为极值点,f'(x0)=0
充分条件
第一充分条件
x0左右f'(x)异号,可判断极大值,极小值
f'(x)在x0两侧同号,则不是极值点
第二充分条件
f(x)在x0处二阶可导且≠0,f'(x)=0,则在x0处可取得极值
第三充分条件
驻点
导数为0的点
最值
求法
求出f(x)在(a,b)内驻点和不可导点
求出这些点处的函数值和区间端点的函数值
曲线的凹项与拐点
凹凸性
定义判定
比较区间内任意两点和的一半的函数值与两点函数值和的一半的大小。
定理判定
f(x)在[a,b]连续,(a,b)二阶可导。 如果f"(x)>0:凹,f"(x)<0:凸。
拐点
定义
判定条件
曲线渐进线
种类
铅直渐近线 x=x0
x→A,y→∞
水平渐近线 y=y0
x→∞,y→A 。 x→+∞,y→A1 。x→- ∞,y→A2
需要考虑左右情况。
斜渐近线 y=ax+b
f(x)=ax+b+α(x),x→∞,α(x)→0时,有斜渐近线
注意
最多两条斜渐近线,没有水平的再求斜渐近线
平面曲线的曲率
曲率的定义
曲率的计算
曲率圆与曲率半径
考试题型
函数单调性,极值与最值
可用方法
定义域
奇偶性
对称性
保号性:已知极限的值,先考虑
泰勒公式判定二阶导数的值
基本步骤
求驻点
利用定义判定单调性,求极值
不同函数
隐函数求极值
求驻点,得到驻点就用基本方法
得不到驻点,得到y=ax,就把其代入原方程,得到f(x0),f'(x0)
再对隐函数求二阶导,代入f(x0),f'(x0),得到某点的二阶导,利用第二充分性判定
参数方程
注意求得的 t 要代入参数方程求得 x ,y的值,这个点为可能的极值点,t 再代入一阶导数左右求得±,判断极值, 凹凸性,拐点(二阶导数=0所得的t带入参数方程,得到的是可能的拐点,t左右带入二阶导,判断是否为拐点)
曲线凹凸性,拐点,渐近线及曲率
渐近线
基本步骤
先求铅直,再求水平(左右),没有水平再求斜渐近线
斜渐近线
基本方法:求两次极限分别得到a,b
利用三角公式,泰勒公式等得到 y=ax+b+o(x) 的形式则为斜渐近线
注意
利用奇偶性简化运算
凹凸性,拐点,极值的判定常结合隐函数,参数方程来出题
方程的根的存在及个数
常用方法
存在性
零点定理(f(x)=0)
罗尔定理(对F(x)使用)
根的个数
单调性
罗尔定理推论+零点定理
题型
存在性
根的个数
含参方程求实根个数
参数分离再结合图像更简单
证明有唯一实根
先证明最少有一个
零点定理
再证明最多有一个
罗尔定理推论
证明至少有两个根
构造辅助函数,利用两次罗尔定理证明
注意
奇偶性简化运算
证明函数不等式
常用方法
构造新函数利用单调性
一阶看不出来求二阶看+-
利用常用不等式求±
利用奇偶性简化运算
最值
拉格朗日中值定理
泰勒公式
凹凸性
题型
含两个参数的不等式
可设其中一个为x转为含x方程来做
变量代换
题目条件含有二阶导数
考虑泰勒公式,在所给信息最多的点上展开
选填
优先考虑特殊值法,设的越简单越好
注意简化运算
利用函数关系,只对部分函数进行判断,求导
微分中值定理证明题
常见题型常用方法
单中值
常规解题步骤
构造辅助函数F(x)(原函数/原函数*e^x),不好构造就利用题目条件来构造
常用辅助函数
分析法(还原法)
微分方程法
证明F'(x)=0,就可以得到要证明的等式
F(x)为{ f(x) , g(x) , x }
端点值代入不同
两个同号
利用题目条件得到另一个值异号,用两次介值定理,再用罗尔定理
两个异号
介值定理得到一个零点,再利用题目条件得到另外一个,再用罗尔定理F'()=0
端点值代入相同,直接用罗尔定理
F(x)为{ f(x) , f'(x) , x }
可以用拉格朗日中值定理得到f'(x)的范围,再利用题目条件得到两个F(x)的范围
如果有最值→极值,可以用费马定理得到F'()=0
也可以用介值定理,求得F(a)=F(b),再用罗尔定理
有时构造的辅助函数除了要证明F'()=0,还要证明另外一个因子≠0,常用反证法
双中值,
分点
逆推法,利用图像来去除干扰项
再用推导得到的分界点,分别用两次拉格朗日中值定理
不同种类解题思路
不要求两个中值不相等(第一类)
微分+积分中值定理(某一中值出现次数较少,可暂看作常数)
构造辅助函数
利用积分中值定理推导
罗尔定理
两个函数双中值
参数分到两边,可分别用柯西中值定理,再利用题目条件证明
要求两个中值不相等(第二类)
已知分界点
把中值分到两边,设辅助函数分别用拉格朗日中值定理F(a)=F(b),再用罗尔定理
未知分界点
逆推法分析分界点
先设分界点,再用两次拉格朗日中值定理,化简得到分界点c/f(c)
要舍去可能不存在的点
再代入证明一遍
有高阶导数,且是不等式
不同题型解题步骤
某点高阶导数的不等式
f(x)泰勒展开,再代入端点,化简变换得到所求不等式
所有x的含高阶导数不等式
f(c)展开,代入端点,化简证明不等式
注意
证明题的第一问要利用好
注意奇偶性
多元函数微分学
概念
概念,理论
重极限
一元函数极限性质
不可用
洛必达法则
可用
局部有界性,保号性,有理运算,极限与无穷小,夹逼性
求极限常用方法
1. 利用极限性质(四则运算法则,夹逼原理). 2. 消去分母中极限为零的因子(有理化,等价无穷小代换) 3. 利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量.
连续
性质
偏导数
全微分
定义
可微性判定
计算
连续可导可微的关系
一阶偏导连续要求在所有路径下都连续
偏导数与全微分计算
复合函数求导法
全微分形式不变性
隐函数求导法
极值与最值
无条件极值
一般步骤
找驻点和偏导数不存在的点
利用充分条件判断是否为极值点
条件极值和拉格朗日乘数法
一般步骤
构造拉格朗日型函数
分别求偏导,得到的值为可能的极值点
最值
先找无条件极值驻点
找条件极值可能是最值的点
比较
常考题型
选填题
考虑特殊值法
讨论连续性,可导性,可微性
连续性
和一元函数类似
可偏导性
定义判定
可微性
定义判定
4种等价形式
关系
关系图
偏导数与全微分的计算
求一具体点处的偏导数与全微分
偏导
定义
先代入再求偏导
一阶偏导
求x的偏导,先把y的值代入,再把他当成一个关于x的一元函数,对x求偏导
二阶偏导
先用公式求出一阶,再在最后一阶代入
微分
求出偏导数再代入,得到全微分
给出具体表达式函数的偏导数与全微分
偏导数
幂指函数
改为含e的指数函数
取对数
复合函数法
已知偏导数求原函数
作偏积分
二阶偏导数,按反顺序依次求偏积分,每求一次利用条件求出由偏积分得到的未知数
全微分
已知全微分求参数
做混合偏导,当一阶偏导连续时,这两个混合偏导相等
已知全微分,求函数本身
凑微分
偏积分
含有抽象函数的复合函数偏导数与全微分
偏导数
复合函数注意链式法则
高阶偏导数画结构图
选取合适的顺序有助于简化循环
全微分
隐函数的偏导数与全微分
偏导数
常用法
公式法(对一项求偏导时,别的项当做常数)
把用来确立函数的方程构造成新函数
两边求导法
画结构图
全微分法
常用于同时求出一阶偏导
函数由多个方程确定时,可利用微分形式不变性
极值与最值
选填题
如有多元函数极限,可以用保号性
特殊值法
极值
计算题
求无条件极值
做题步骤
求函数极值
利用一阶偏导数=0,求驻点
利用充分性公式求A,B,C,判断是否有极值,是极大值还是极小值
隐函数极值
先对方程分别求一阶偏导,再把x,y代入方程,得到驻点
再利用充分性求
有条件极值
构造拉格朗日函数
求偏导=0
λ分情况,得到x,y的关系,再代入某一方程,得到x,y的值
将界内的点代入,比较大小得到极值
如果求最值,再将边界上的点代入,求解
最值
计算题
连续函数有界闭区间最值
边界易化为无条件,比如直线
先求区域内驻点
再求边界上极值
比较取最值
边界为曲线
公式法
先求内部驻点
利用拉格朗日乘数法找边界极值点(在化简时,约束条件不可代入具体值)
构造拉格朗日函数,依次求偏导=0
比较得最值
参数方程法(边界为圆)
配方法
利用几何意义
找区域上最值点
一般利用和某函数交点求
应用题
建立目标函数
再用条件,利用拉格朗日乘数法
多元函数整体归类
选择
求具体点的偏导数
先带后求,遇到绝对值,用公式求解
偏导,可微,偏导数连续的关系
已知分段函数,求在某分段点相互的关系
先判断偏导数存在性
用求具体点的公式,先带后求,或者用公式
判断可微性(前提,偏导存在)
利用可微判断公式,或者4种常见形式
再判断偏导数连续性(前提,可微)
连续性定理,分别判断两个偏导数,其中一个不连续整个不连续
已知某未知函数的类似可微定义的极限
判断某点是否含有这些关系
特殊法
设特殊函数
直接法
每个选项利用定义证明
判断某点驻点,极值
极值点
保号性
驻点
偏导数=0
已知偏导±,判断函数大小关系
利用图像,方程一元函数
拉格朗日中值定理,两个变量变成一个判断
求原函数
已知二阶偏导
偏积分,依次求,每积分一次,代入条件求出未知参数
特殊法,直接代入选项
已知全微分
得两个偏导数,再偏积分
求极值最值
极值
判断极值充分条件
二元函数z=f(x)✖️g(y)
利用A AC-B^2
注意计算
由二元方程确定的一元隐函数
先利用隐函数方法,求出一元函数的一阶导
再求二阶导
利用y'=0 y''的±判断极值
已知类似可微判定公式的极限
判断极值
保号性
凑形式,得到原函数
驻点
所有一阶偏导数都=0的点
利用可微判定公式,凑偏导公式
填空
求偏导
具体点
一般函数
先代后求,求得时候有复合函数,链式法则别漏掉
直接用定义
隐函数
公式
适用于复合函数等,不好直接求的 x,y,z作为独立变量
两边同时求导
z是x,y的函数,画结构图 适用于求二阶偏导
全微分
方程F(x,y,z两边同时取微分) 不用考虑变量间的关系,适用于求一阶偏导
高阶偏导
已知二元函数和一阶偏导
对两个函数求二阶偏导,再利用连续得混合偏导相同,化简
复合函数
画结构图
链式法则
括号内的内容要写上
复合隐函数
全微分
求全微分
一般函数
先求两个偏导,再代入
直接全微分(把别的都当常数)
隐函数(z=f(x,y ))
对方程进行全微分,得到dz
对函数进行全微分,再把dz代入
复合隐函数
先求出dz的全微分,再代入复合函数的全微分式子中
求极限
已知全微分
凑偏导数形式
已知类似微分形式
凑全微分形式 结合导数定义
计算
偏导
复合函数➕隐函数求偏导
一元复合函数求偏导
参数
复合函数求参数
原函数
多元函数➕微分方程
特殊形式复合函数
已知二阶偏导求,原函数
偏积分,偏完一次后,利用条件,求得未知数,再偏积分
应用题
极值
最值
一元函数整体归类
选择填空
导数定义
利用定理判定函数在某点的可导性
可导充要条件,左右都存在且相等
只知道一边的导数存在无法推得函数在某点可导
某点左右导数存在只能得到函数在该点连续
只知道一点的导数值无法得到整体的情况,除非函数二阶连续可导
求某个函数极限
利用题目条件,凑成导数定义公式,代入求解
保号性
不可导点(在绝对值=0处)
函数不可导点个数
常规法
找可能的不可导点
判断左右导数是否存在且相等
图像法
函数特殊
画图来判断,交点不平滑的不可导
特殊值
可设分段函数来可导性,连续问题
图像法
已知导数图像,求极值点个数
注意驻点和导数不存在的点
驻点:导数=0的点 极值点:导数=0或导数不存在,用充分性判定
判断极值点,拐点,可导性
保号性
已知极限的值的±,又知道分子或分母的±,可推得另一个的±,借此推得函数±
渐近线
步骤
求垂直渐近线
再求水平渐近线,左右都要求
在不存在水平渐近线的地方求斜渐近线
注意
利用奇偶性可简化过程
可能的点
可能的拐点
二阶导数=0,二阶导数不存在点
可能极值点
驻点,导数不存在的点
驻点
导数等于0的点
可能的不可导点
绝对值=0的点
计算
求用极坐标表示的曲线某点的切线
用三角函数和r表示x,y 再求斜率dy/dx,分别对角度求导
各种类型函数求导
求驻点个数(导数等于0的点)
巧用罗尔中值定理
图像
已知含参方程的根数,求参数
把参数一到一边,设新函数
画出图像判断
一元函数求高阶导数
复合隐函数
隐函数方法求出一阶二阶导数
用链式法则求出导数表达式
代入
参数方程
公式推导
隐函数➕参数方程
一阶导
先对参数方程中的隐函数对t求导,得到dy/dt,dx/dt
利用公式的得到一阶导数
二阶导
再次对隐函数对t求导,得到x,y分别对t的二阶导数
再利用公式推导y对x的二阶导,用x,u对t的导数代入,化简公式,再代入
直接带入公式
证明
求函数导数,讨论导数的连续性
求导时注意分段点要用定义求
分段函数只需讨论分段点处的连续性便可,初等函数在其区间上连续
方程根的问题
子主题