常微分方程

方法论，概念，知识点，展示了一个关于数学中微分方程及其相关概念、方法和求解技巧的思维导图，突出了“导数”这一基本概念，这是理解微分方程的基础。接着，它深入讨论了可分离变量方程、齐次方程、换元法等微分方程求解的常见方法。每个方法下，都附有具体的求解步骤或示例，如“换元，转为一阶微分方程”，“利用导数定义，求极限”等。结构清晰，内容详实，是一个非常有用的参考工具。

中心主题

• 概念
  • 基本概念
  • 一阶微分方程
    • 一阶导数和x,y的
    • 可分离变量的方程
      • 将x,y分到两边再积分求解
    • 齐次方程
      • 换元，再当成可分离变量方程来解
    • 线性方程
      • 转为标准形式，再用公式
  • 可降阶的高阶方程
    • y^n＝f(x)
    • y''＝f(x,y' )
      • 换元，转为一阶微分方程
    • y''=f(y,y' )
  • 高阶线性微分方程
    • 类型
      • 非常系数
        • 形式: y''+p(x)y' +q(x)y=f(x)
          • y'' y' y f(x)
        • 分类
          • 齐次方程:f(x)=0时
          • 非齐次方程:f(x)≠0
        • 解
          • 非常系数齐次
            • 通解 y=C1y1(x) + C2y2(x)
              • y1(x)和y2(x)为齐次方程两个线性无关的特解(两个之比≠常数)
            • 特解 y(x)=y2*(x) - y1*(x)
              • 两个线性无关的非齐次两个特解之差
                • 假如非齐次有三个特解，两两相减可得两个齐次特解，再线性组合一下，加上另一个非齐次特解可得到非齐次通解
            • 要求非常系数高阶齐次通解
              • 先看能否降阶，变换形式
              • 都不能则尝试调换x,y或者换元求
          • 非常系数非齐次
            • 通解 y=C1y1(x) + C2y2(x) + y＊(x)
              • y＊(x)为非齐次一个特解
                • 非齐次通解＝齐次通解➕非齐次特解
            • 非齐次方程的特解对于非齐次项有叠加性
            • 已知3个特解
              • 非常系数非齐次特解之差＝非常系数齐次特解
              • 两两之差线性组合后得到齐次通解，再加上另一个非齐次特解，得到非齐次通解
              • 如果要求方程，则约去C1,C2 便可
      • 常系数
        • 形式:y''+py'+qy=f(x)
        • 分类
          • 常系数齐次方程:f(x)=0时
            • 特征方程 r^2+pr+q=0 两个根 r1 r2
          • 常系数非齐次方程:f(x)≠0
        • 解
          • 常系数齐次
            • 通解
              • r1≠r2
              • r1=r2
              • r12 ＝α±iβ
            • 特解
              • 已知常系数齐次微分方程特解，可得特征根/方程→常系数齐次微分方程
              • 如果是要满足某初始条件的非齐次特解
                • 先设出非齐次特解，加上齐次通解，等于非齐次通解，再代入初始条件得非齐次特解
          • 常系数非齐次
            • 特解
              • 先求出高阶常系数非齐次的通解，再代入初始条件，得特解(有初始条件，必须要利用起来)
              • y＊设出的特解形式，要代入非齐次方程，输求出其中未知参数
                • 同次多项式
                  • 1可设为A x可设为Ax+B
            • 通解＝齐次通解➕非齐次特解
• 常考题型
  • 注意
    • 特解要代入方程，求出参数值
  • 已知微分方程求通/特解
    • 判断什么类型的微分方程，用对应方法做
    • 一阶微分方程无法判断类型时的方法
      • 变量代换(先考虑)
        • 凑微分，对常规导数形式要敏感
      • x,y对调
  • 综合题
    • 求满足某一等式的f(x)
      • 变换形式或直接对两边求导，得到微分方程，再解微分方程
        • 等式中含有积分，变限积分等积分等式
          • 已知f(x)连续，则要通过可导性关系，推导得到可导
            • 可导±可导→可导
            • 原函数连续，积分可导
      • 已知函数某点导数值
        • 可利用导数定义，列出该点导数求导公式，求极限得到倒数的式子
      • 含特殊函数的等式
        • 含二重积分
          • 将二重积分转为累次积分，再求导
        • 不知可导性，且无法间接推得
          • 利用导数定义，求极限
        • 含复合函数及偏导数
          • 先换元
        • 已知全微分且有二阶连续导数
          • 利用混合偏导相等求微分方程
    • 已知解，求微分方程
      • 已知特解
        • 非常系数非齐次方程的3个特解
          • 利用组合求得非齐次非常系数通解
            • 非齐次线性无关特解之差等于齐次特解。
            • 齐次特解线性组合等于齐次通解。
            • 齐次通解加上非齐次特解等于非齐次通解。
            • 非常系数，没有特征方程。
          • 对通解求导，利用代数运算消去常数，便可得到微分方程
    • 注意
      • 变换x,y的关系时，二阶导数要推导得到，不能直接换
  • 应用题
    • 利用题目条件及要求求微分方程
• 不同题型
  • 选填
    • 齐次方程求通解，注意高阶时二阶导数的推导
    • 特解求出来一定要代入原方程组，求出未知常数，不能含有未知数
    • 三阶的特征方程求解的时候要求全，不能有遗漏
  • 计算
    • 已知二阶线性方程非齐次方程的通解，代入原方程，两个方程联立去除未知常数，得到方程等式
    • 求某微分方程形式的通解，不是正常格式
      • x,y对调，转为标准格式，注意y" 对调时要根据公式推导
      • 凑微分形式，换元处理
    • 含变限积分的方程等式，一般求导，凑标准微分格式
      • 注意要确定f(x)可导性，不可导的用可导定义
        • f(x)连续，积分可导，可导➕可导＝可导
        • 某一点的导数不能得到整个区域的可导性
    • 对二重积分
      • 累次积分凑成含变限积分的等式，再求导得到微分标准格式
  • 应用
    • 一般情况，先求曲面方程
      • 由题目条件，求解
    • 特殊情况
      • 曲线为参数方程
        • 设斜率的时候，x,y分别对t求导
      • 光滑曲线
        • 分段点，左右函数值相等，左右导数相等
  • 证明
    • 证明不等式
      • 单调性(常数，利用题目条件直接求)
      • 变换形式，构造新函数。(含参数)