统计学第四章数据的概括性度量

这是一篇关于统计学第四章数据的概括性度量的思维导图，数据的概括性度量是统计学中重要的分析工具，它通过集中趋势、离散程度方面的度量，为我们提供了理解和分析数据的有效手段。在实际应用中，我们需要根据数据的类型和特点，选择合适的度量方法，以便更好地揭示数据的内在规律和特征。

统计学第四章数据的概括性度量

• 集中趋势的度量
  • 分类数据：众数（可能计算）
    • 众数是一组数据中出现次数最多的变量值，用M0表示。
    • 主要用于测度分类数据的集中趋势，也可用于顺序数据和数值型数据
    • 一般情况下，数据量大时，众数有意义
    • 众数不受数据中极端值的影响。众数可能不存在，可能有多个【10个数中最多可以出现4个众数】
  • 顺序数据：中位数和分位数（可能计算）
    • 中位数：
      • 概念：是一组数据排序后处于中间位置上的变量值，用Me表示
      • 中位数不适用于分类数据
      • 中位数位置公式和中位数计算公式
        • 手写笔记
    • 四分位数：
      • 概念：也称四分位点，一组数据排序后处于25%（下四分位数）和75%（上四分位数）位置上的值，三个点将全部数据分为四个部分，每部分包含25%的数据。
      • 计算公式
        • 手写笔记
  • 数值型数据：平均数（可能计算）
    • 手写笔记
    • 简单平均数
    • 加权平均数
    • 几何平均数
  • 众数中位数和平均数的比较
    • 三者的关系（图示加说明，见笔记）
      • 手写笔记
    • 三者的特点和应用场合
      • 众数：是一组数据分布的峰值，不受极端值的影响，众数只有在数据量多时才具有意义，当数据量较少时，不适合使用众数。
      • 中位数：是一组数据中间位置上的值，不受极端值的影响
      • 平均数：是针对数值型数据计算的，而且利用了全部的数据信息，它是应用最广泛的集中趋势测度值。
    • 选择：
      • 数据呈对称分布或接近对称分布，三个代表值相等或接近相等，选择平均数作为集中趋势的代表值。
      • 数据为偏态分布时，特别是偏斜程度较大时，可以考虑选择中位数或众数，这时他们的代表性比平均数好。
• 离散程度的度量
  • 分类数据：异众比率
    • 指非众数组的频数占总频数的比例，用Vr表示，公式为（见手写笔记）
    • 异众比率越大说明非众数组的聘书站总频数的比重越大，众数的代表性越差。
  • 顺序数据：四分位差
    • 也称为内距或四分间距，是上四分位数与下四分位数之差，用Qd表示
    • 反应中间50%的数据的离散程度，数值越小说明中间的数值越集中。
    • 不受极值影响，在一定程度上能反映中位数对一组数据的代表程度。
  • 数值型数据：方差和标准差（大概率计算题）
    • 极差：一组数据的最大值与最小值之差，称为极差也称全距，用R表示。公式为（见手写笔记）
    • 平均差：也称平均绝对离差，是各变量值与其平均数离差绝对值的平均数，用Md表示。公式为（见手写笔记）
    • 方差和标准差：
      • 方差是各变量值与其平均数离差平方的平均数，方差的平方根称为标准差。
      • 公式为（见手写笔记，需要区分是总体还是样本，如果是总体需要除以N；如果是样本需要除以n-1）
      • 自由度：样本方差是用样本数据个数减1后去除离差平方和，其中样本数据个数减1即n-1称为自由度。
      • 单位：标准差和数据组的单位一致，但是方差没有单位。
    • 相对位置的度量
      • 标准分数（重要）
        • 变量值与其平均数的离差除以标准差后的值称为标准分数，也称为标准化值或z分数。
        • 公式为（见手写笔记）
      • 经验法则（钟形分布）
        • 重要：见手写笔记
  • 相对离散程度：离散系数
    • 也称为变异系数，是一组数据的标准差与其相应的平均数之比（标准差有单位），Vs=s/x拔
    • 离散系数越大，说明数据的离散程度也大
• 偏态与峰态的度量
  • 给个数让判断是左偏还是右偏
  • 偏态
    • 偏态系数等于零=这组数据分部对称
    • 偏态系数大于1或者小于-1=这组数据为高度偏态分布
    • 偏态系数在0.5到1或-1到-0.5之间=这组数据为中等偏态分布
    • 偏态系数越接近于零=这组数据偏斜程度就越小
    • =0不偏；大于0右偏；小于零左偏
  • 峰态
    • 峰态是对数据分布平峰或尖峰程度的测度
    • 标准正态分布，峰态系数的值为零
    • 尖峰分布，平峰分布图示
    • 峰态系数大于零时为尖峰分布，数据的分布更集中，小于零时为扁平分布，数据的分布更分散。