导图社区 一元函数微分学 (核心是导数)
这是一篇关于一元函数微分学 (核心是导数)的思维导,导数可导的充要条件:1、函数在该点的去心邻域内有定义。2、函数在该点处的左、右导数都存在。3、左导数=右导数。这与函数在某点处极限存在是类似的。
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一元函数微分学 (核心是导数)
导数定义
【知识点1】导数的定义:由极限定义
导数可导的充要条件:1、函数在该点的去心邻域内有定义。 2、函数在该点处的左、右导数都存在。 3、左导数=右导数。这与函数在某点处极限存在是类似的。
计算型定义:研究哪个点处的导数,哪个点就是定点
【定势思维】将极限与导数挂钩的问题——想导数定义
应用
导数的计算
判定一个函数在一点处的可导性
Q 什么是可导?
这个点处的导数是存在的——导数定义的极限存在
Q 什么时候凑导数定义去求导数(or判定可导性)的场景?
1.直接求很麻烦
2.分段函数在分段点处的导数
显式
分段函数
隐式
绝对值=0、max、min
3.抽象函数极限问题:已知导数,求抽象函数极限;已知抽象函数极限,求导数【例2.27】
法1.洛必达
【TIP】含有抽象函数的极限问题到底能洛到哪一阶?———答:洛到函数连续的那一阶
扣着3个要求走
1.满足 0/0 或 无穷/无穷型
2.在趋向【不仅是该点处可导,还要在邻域内可导】下,分子与分母均可导(题目中往往有提示)
3.比值极限=数或者无穷
法2. 凑导数定义
【知识点2】可导与连续间的关系【主语要搞清楚】
谁可导,谁连续【同一主语】
谁连续,谁存在/有定义【同一主语】
【tip】不仅在该点存在,还在该邻域内存在
高阶连续 → 低阶连续
xx存在 → 低一阶连续
二阶导数存在 推 一阶导数连续
二阶导数存在 → 一阶可导 → 一阶导数连续
函数在一点处连续 推不出≠ 函数在该点邻域内连续
函数在一点处可导 推不出≠ 函数在该点邻域内可导
【tip】极限、连续、可导的加减乘除规则一致
【知识点3】单侧导数
连续性和可导性的判定方法总结
1.连续性的判定
分左右:左右极限相等,且等于函数值
不分左右:极限=函数值
2.可导性的判定【用导数定义】
Q 题目已知可导,求解2个待定参数?step1.先用连续性求出1个参数 step2.再用可导性求另一个参数
分左右:左右导数存在且相等
不分左右:导数存在
Q 怎么知道要不要分?左右开弓法的几种情况,比较常见的是分段函数
【tip】有关绝对值函数可导性的问题
加个g (x)
【知识点4】导数的广义化定义
【黄金重点】谁处的导数,谁就是定点
【tip】只要不是f (x),就凑推广;是f (x),可以凑计算型定义
Step1: 一凑结构
Step2: 二看0(±)
【tip】一个小经验
【注意大前提】一定要保证f '(x)存在!!
双动点问题一般不能推可导
导数的计算【基础:导数表、四则运算】
复合函数的求导法则
注意辨析2个符号
【幂指函数求导】立即幂指转换
一元隐函数求导——2阶导数计算
方程两边同时对x求导
【出题点】给你隐函数方程→求极限
【定势思维】已知导数求极限,且不是f(x) → 凑导数推广型定义
参数方程求导
1阶导数计算
Y对t比X对t
2阶导数计算
对1阶导再求一次导,补上X对t求导分之一
分段函数求导
分段点外直接求;分段点上两法做
1.用导数定义——屡试不爽
2.用导数极限定理【用导函数的极限 求解该点处的导数】——扣要求
单侧导数极限定理也适用~
1.分段点外可导(一般的分段函数都能满足)
2.f(x)在该点处连续【重点条件】
即:将导函数连续→弱化为函数连续
3.导函数的极限是存在或∞(一般都满足)
Q 什么时候适合用【导数极限定理】?答:求分段点处的导函数【只有一个应用】
1.拿到题后,看到分段点外的导数好求
2.需要求的是该点处的导函数值
3.立即验证第二点,即:f(x)是否在该点处连续
反函数求导
1.套公式
2.做自变量的切换【最后一定别忘啦!】
【注】不论是一类or二类反函数,你的自变量一定是原来函数的因变量
高阶导数
1.公式法【4个公式+莱布尼兹公式】
【莱布尼兹公式的应用】让!容易求导求完的那项升序
2.递归法
适用:抽象函数,没有公式→用递归法
3.泰勒展开法
导数的几何意义
导数应用
中值定理
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