5.多元函数微分学

这是一篇关于5.多元函数微分学的思维导图，帮助考生梳理了考试的知识点，形成了清晰的知识体系。同时，通过对每个知识点的详细解释和关联，思维导图也促进了考生对知识的理解和记忆。因此，考生在备考过程中可以充分利用这张思维导图，提高备考效率，取得更好的成绩。

多元函数微分学

• 多元微分学基本概念
  • 【考点1】多元函数概念 之 二元函数
    • 1.定义：有两个自变量的函数
      • 判断关系？树状图——起：因变量；末：自变量；中：中间变量
      • 二元：z=f (x,y)
      • 一元：z=f (x,g(x))【即：y和x又有关系】
    • 2.几何意义：二元函数是三维空间下的面
      • 一元函数是二维空间下的线
  • 【考点2】二元函数的极限【二重极限】
    • 1.二重极限形式
    • 2.二重极限表达的意义
      • 【总结】二重极限包含了无数多条趋向方式，且每一条趋向均是一个一重极限 【且x和y没有关系: x走x的，y走y的】
      • 见到二重极限，就见到了无数多种趋向方式
      • 如果判定这个二重极限存在，就应该判断每一条趋向都存在而且相等
    • 3.如何判定二重极限不存在？
      • 法1.找一条趋向不存在∉
      • 法2.找两条趋向不相等
      • 【总结】找一些特殊趋向，如y=kx；y=x^k；x=y^k；即：找直线和曲线
    • 4.如何求解二重极限？
      • 【总结】二重极限无法完全类比一重极限中的结论，但有一点是值得注意的，那就是二重极限定出的阶是什么→当你取一次函数趋向时，该结果与一重极限一致
      • 法1.定型: 已定式or未定式。
      • 法2.等价无穷小【注意洛必达法则和泰勒公式用不了】
      • 法3.代换为一重极限
        • 【目的】为了不破坏次方数关系，取一次函数t进行换元
      • 法4.无穷小×有界=无穷小
        • 【考：同比次方，不存在】
        • 【考】考研中五星级重点的二重极限
          • 1.无穷小×有界（加绝对值）
          • 2.高阶/低阶
            • 【tip】好好利用和取低阶原则！！！
  • 【考点3】二元函数的连续性
    • Q 如何判定二元函数的连续性？
      • 极限=该点处函数值
    • 2.【二元函数连续的理解】
      • 每一个趋向下、无数多个一元函数都连续
• 偏导数的定义和计算 (2x2')【必考】
  • 【考点1】偏导数的定义
    • 【破题tip】求导时，到底什么时候直接求导【先代后求】，什么时候用定义？ 回想第二章一元函数求导内容→ 1. 分段函数在分段点处求导必用定义 2.其他情况可以直接求导时，那就直接求出，这里有一个方法叫做【先代后求】
    • 对x的偏导数就是先把 y₀ 带进去，然后再在 x₀ 处的导函数
    • 对y的偏导数就是先把 x₀ 带进去，然后再在 y₀ 处的导函数
  • 【考点2】偏导数的几何意义
    • 一个方向是x的偏导数，一个方向是y的偏导数
      • 子主题
    • Q 可导性的判定？
      • 两个方向上（x和y) 的偏导数均存在 = 二元函数可导
    • 二元函数可导就是两个方向（x和y) 的偏导数都存在
      • 【因此】二元函数的可导推不出二元函数的连续，二元函数的连续也推不出二元函数的可导
        • 可导≠连续
  • 【考点3】多元函数偏导数计算
    • 核心：对某一自变量求导，其余自变量均看成常数
      • 【tip1.】上下都有x→幂指函数→幂指转换
      • 【tip2】要求出确切数的偏导→先代后求
    • 2.高阶偏导数
      • 【定理】如果函数z=f(x,y)的2个二阶混合偏导数在区域内连续，这两个偏导数相等
        • 【tip】如何判断是否连续？ 【一般均相等】
          • 1.具体函数→初等函数在定义域内都是连续的
          • 2.抽象函数→题目给
• 全微分【必考】
  • 【考点1】全微分的定义（重点）
    • 因变量增量=自变量增量的线性关系（dz/线性主部/全微分）+自变量增量的高阶无穷小
  • 【考点2】全微分的计算【核心重点还是求偏导数】
    • 一元，二元，三元的全微分d就是自变量增量的线性关系，线性关系的系数就是导数或是偏导数
    • 【总结】破题思路，写成
      • 二元: dx+ dy
      • 三元: dx+ dy+ dz
    • 【考/拔高】判定函数之间的关系，求导数以及微分问题
      • 【核心】搞清楚中间变量，对x求导→因此:要学会判断z与x, y之间的关系
        • 一元隐函数关系z=z(x)→du= dx
        • 二元隐函数关系z=z(x,y)→du= dx+ dy
  • 【考点3】二元函数连续、可导、可微之间的关系【图】
  • 【考点4】Q 二元函数可微的判定方法？【必考】
    • 【黄金重点yyds】作差式定义
    • 法2: 定义法
• 多元函数微分法 (2x2')
  • 【必考】多元复合函数偏导数计算
    • 【黄金重点】先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导，有多少个中间变量就有多少项
      • 1.题型一:单中间变量→无角标
      • 2.题型二:多中间变量→有角标
  • 二元隐函数的导数计算【必考】
    • 【标志】认识二元隐函数
      • F (x,y,z)=0
    • 【考点1】二元隐函数求导方法
      • 法1: 求偏导法【方程两边同时对 x或y 求偏导】
        • 二阶
          • 【tip】两边同时求导，z中有x,y
      • 法2: 公式法【yyds】
        • 一阶【99%题目】
          • step1 找方程=0
          • step2 套公式，求F'x, F'y, F'z
    • 【隐藏考点2】隐函数存在定理
      • step1. 先写成这种F (x,y,z)=0形式
      • step2. 想确定的是谁的函数 → 求谁的偏导 → 偏导≠0 → 能确定隐函数存在
• 二元无条件极值【必考】
  • 1.定义（邻域内的极大或极小值）
  • 2.必要条件
    • 若取极值，且偏导存在，则偏导数=0【驻点】
  • 3.充分条件（判定方法）
    • step1.求驻点: 偏导数=0的点→P（X₀,Y₀）
    • Step2. 判定: 求出二阶偏导→代入驻点P→
      • A
      • B
        • 判定B²-AC
          • ＜0
            • 且A＞0→极小值
            • 且A＜0→极大值
          • ＞0不取
          • =0未知
      • C