概率论与数理统计

考研概率论张宇9讲超详细思维导图，一图看懂全章节内容，知识点系统全面，无需死记硬背，框架式结构清晰明了，轻松掌握知识点。

高数思维导图

• 函数与数列
  • 函数极限与连续
    • 可以发现，无论是函数还是数列所描述的极限存在即结果为0或者一常数，无穷别视为不存在。 在洛必达和夹逼定理当中0、常数、无穷都视为存在，都可以进行计算！
    • 函数极限的定义及使用
      • 定义
      • 使用
        • 是常数：
        • 唯一性：极限存在，直接可以写为一常数，且该常数唯一——左极限=右极限
        • 局部保号性：戴帽容易脱帽难
        • 等式脱帽法：若
    • 函数的极限计算
      • 简化先行
        • 等价无穷小替换
          • 普通型函数
          • 复合型函数：一般为两幂函数
          • 变上限积分型：
          • 复合函数与变上限积分型
          • 推广性：
        • 恒等变形
          • 提取公因式
          • 换元
          • 通分
          • 对数与指数的变形：e与ln的恒等变形
          • 公式：因式分解、分子有理化、平方差……
          • 四大定理：牛莱、拉朗、积分中值、泰勒
        • 及时提出极限存在且不为零的因式
          • 在多项和的式子中，除一项极限为零外均为无穷时可以先算出
          • 在多项积的式子中，可以先算出不为零和无穷的式子
      • 洛必达法则
      • 泰勒公式
        • 注意点
          • 熟记公式：
          • 展开原则：上下同阶、展开到同次系数不相等为止
          • 在展开式中有的是各项展开，但并不代表没这一项，只是说该项的系数为0，这一点十分关键，展开到不相等为止。
      • 无穷小比阶
        • 高阶无穷小
          • 方法：在无穷比阶时取大头，可以直接忽略高阶无穷小
        • 同阶无穷小
          • c=1时为等价无穷小
        • 低阶无穷小
          • 取大头的原因是在比阶而不是具体计算极限值！！！
    • 函数极限存在性
      • 具体型
        • 洛必达、夹逼准则（应对各种奇怪函数）——重点：取整函数
      • 抽象型
        • 单调有界准则：单增上有界、单减下有界。
          • 用拉格朗日公式当中ξ在a与b之间来构造不等式
          • 用牛顿莱布尼茨公式积分，加上不等式构造
    • 函数极限的应用
      • 连续与间断
        • 研究位置
          • 无定义点
          • 函数的分段点
        • 连续
          • 内点处
          • 端点处
        • 间断
          • 一类间断点
            • 跳跃间断点：左右极限存在但不相等，无论该点处的函数值如何
            • 可去间断点：左右极限存在且相等，但不等于该点的函数值
          • 二类间断点
            • 无穷间断点：左右极限至少有一不存在且为无穷大
            • 震荡间断点：左右极限均不存在且震荡
  • 数列极限
    • 数列极限的定义及使用
      • 定义
      • 使用
        • 是常数：
        • 唯一性
        • 有界性
        • 保号性
        • 收敛的充要条件：所有子列{Xn}均收敛于A
    • 数列极限的存在性与计算
      • 归结原则
      • 直接计算
        • 注意在证得单调有界后，设为A时一定要注意A的取值范围，如果A要做分母，一定要判断A不可为零
      • 定义法（先斩后奏）
        • 构造
      • 单调有界准则
        • 已知不等式：基本不等式、指数与x的不等式、ln与x的关系、x与sinx的关系
        • 利用题设暗示的不等式：
      • 夹逼准则
        • 重点：无限项时——最大最小乘以n;有限项时——最多最少乘最大
      • 综合总结
• 微分学
  • 一元函数微分学
    • 概念
      • 子主题
    • 计算
    • 应用
      • 几何应用
      • 中值定理
      • 微分等式
      • 微分不等式
      • 物理应用
    • 微分方程
  • 多元函数微分学
• 积分学
  • 一元函数积分学
    • 概念与性质
    • 计算
    • 应用
      • 几何应用
      • 积分等式
      • 积分不等式
      • 物理应用
  • 多元函数积分学
    • 二重积分
    • 三重积分
    • 预备知识
    • 四种积分
      • 第一类曲线积分
      • 第一类曲面积分
      • 第二类曲线积分
      • 第二类曲面积分
• 无穷级数

概率论与数理统计

• 基础知识与概率
  • 排列数
  • 重要公式求概率
    • 用对立
      • 对立事件一定构成完备事件
      • 区分互斥与对立
    • 用互斥
      • 完备事件
      • 加法公式
      • 减法公式
    • 用独立
      • 交事件的概率等于概率乘积
      • 并事件的概率利用对立事件化为交事件
    • 用条件
      • 三个事件的条件概率
      • 条件概率的完备事件组
      • 贝叶斯公式，必须有完备事件组这一条件
    • 用不等式
      • P(AB)≤P(A)/P(B)≤P(A+B)
    • 用最值
      • max{X,Y} min{X,Y}
  • 事件的独立
    • 不要强加生活当中的意义。
    • P(ABC)=P(A)P(B)P(C)——相互独立 P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)——两两独立
    • P(A)=0/P(A)=1与任意事件独立，但注意事件能推概率，但概率不能推事件。不可能事件→P(A)=0；必然事件→P(A)=1。 P(A)=0/P(A)=1时→P(AA)=P(A)P(A)即A与A独立。
    • A与B相互独立ÛA与B的逆相互独立ÛA的逆与B相互独立ÛA的逆与B的逆相互独立
    • 对独立事件组不含相同事件做运算，得到的新事件仍独立
    • 若P(A)＞0，则A与B相互独立ÛP(B|A)=PB)
    • 若0＜P(A)＜1，则A与B相互独立ÛP(B|A逆）=P(B|A)=P(B)ÛP(B|A)+P(B逆|A逆)=1
    • 若0＜P(A)＜1，若0＜P(B)＜1,且A与B互斥或存在包含，则A与B一定不独立。也可以说，A与B独立，则A与B一定相融，一定有公共元素，不会是空集 若AÍB,AB=AÞP(AB)=P(A)≠P(A)P(B)
• 随机变量与分布
  • 随机变量
    • 离散型
      • 分布列=分布律=概率分布
    • 连续性
      • 概率密度f(x)、分布函数F（x)
    • 混合型
      • 非离散非连续
  • 判分布
    • F(x)——分布函数：单调不减、右连续、F(-∞）=0；F(∞）=1。
  • 求分布
    • 离散型分布
      • 0-1分布
        • X~B(1,p)
      • 二项分布
        • X~B(n,p) n重伯努利试验存在最大值：(n+1)p-1≤k≤(n+1)p。k为整数 当(n+1)p是整数时，事件A最可能发生的次数：k=(n+1)p和(n+1)p-1 当(n+1)p不为整数时，事件A最可能发生的次数：k=[(n+1)p]
      • 几何分布
        • X~G(p)——等待型分布 P{X=m+n|X>m}=p{X=n}; P{X>m+n|X>m}=P{X>n}.
      • 超几何分布
        • N件产品中有M件正品，无放回取n次
      • 泊松分布
        • 单位时间段，某场合下，源源不断的随机质点流的个数，也常用于描述稀有事件的概率
        • 泊松定理：若X~B(n,p)，当n很大，p很小，l=np适中时，二项分布可用泊松分布表示（将二项分布化为泊松分布）：
    • 连续性分布
      • 均匀分布：X~U(a,b)
        • 概率密度|概率分布：
      • 指数分布：E(l)
        • 概率密度|概率分布：
      • 正态分布：X~N(m,s^2)：
    • 混合分布
      • 无X~pi—分布律 无X~f(x)—概率密度
        • 一般用全概率分布，离散型分布用全概率
    • 用分布
      • P{X≤a}=F(a)
      • P{X<a}=F(a-0)
      • P{X=a}=P{X≤a}-P{X<a}=F(a)-F(a-0)
      • P{a<x<b}=P{X<b}-P{X≤a}=F(b-0)-F(a)
• 一维随机变量的函数分布
  • 离散型→离散型
  • 连续性→连续性
    • 分布函数法：
    • 公式法：若y=g(x)在（a,b)上是关于x的严格单调可导函数，则存在x=h(y)是y=g(x)在（a,b)上的可导反函数。 若y=g(x)严格单调增加，则x=h(y)也严格增加，即h'(y)>0
  • 连续性→离散型
    • 这里所求的结果是离散型的，所以所设的函数应该是：是Y=k
• 二维随机变量的函数分布
  • 判分布
    • (X,Y)~F(x,y):F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}
      • 单调性
      • 右连续性
      • 有界性
      • 非负性
      • f(x,y）是联合概率密度的充要条件
    • {Pij}
      • 和为1
  • 求分布
    • 求联合分布
      • F(x,y）
      • Pij
      • f(x,y)
    • 求边缘分布
      • 求谁不积谁：
    • 求条件分布
    • 判独立
      • • 对于（X,Y)的分布律： 当Pij≠0时，X,Y独立Û联合分布的每行元素对应成比例。 若有Pij=0ÞX,Y不独立。
      • 若(X,Y)为二维连续型随机变量，X与Y相互独立Û对任意X,Y。f(x,y)=fX(x)fY(y)
      • 若f(x,y)的非零区域不是矩形（包括无界广义矩形），则X与Y不独立 若f(x,y)不能分解成仅含x,y的两个一元函数的乘积，则X与Y不独立 若f(x,y)的非零区域是矩形，且f(x,y)能分解成仅含x,y的两个一元函数的乘积，则X与Y独立。
      • 找特殊值，验证不独立
  • 用分布
    • 离散型：
    • 连续型：
    • 混合型：(X,Y)为混合型，则用全概率公式（有独立性）/等价事件（无独立性）
  • 构成法
    • 联合正态分布：(X,Y)~N(m1,m2;s1^2,s2^2;r)
  • 亚当夏娃公式
    • 亚当公式：E(Y)=E(E(Y|X))
    • 夏娃公式：D(Y)=E(D(Y|X))+D(E(Y|X))
    • D(Y|X)=E(Y^2|X)-[E(Y|X)]^2
    • E(g(x)Y|X)=g(x)E(Y|X)
• 多为随机变量的函数分布
  • 多维→一维
    • （离散，离散）→离散
      • 方法：全集分解思想，有交集P(AB)后，一定要想条件概率：P(B)P(A|B) 注意求离散型概率时P{Z=k},并不是≥/≤，而是=是值！
    • （连续，连续）→连续
      • 分布函数:
      • 卷积公式：积谁不换谁，换完求偏导；求谁谁偏导，结果乘以前，要加绝对值。
      • 最值函数的分布
    • （离散，连续）→连续
      • 设X~Pi，Y~fY(y),Z=g(x,y)——无分布规律、无联合概率密度，故卷积公式等都不可用 X,Y独立时，可用分布函数法及全概率分布求FZ(z) X,Y不独立，用分布函数法/等价事件
  • 一维→多维
    • 离散→（离散，离散）
    • 连续→（离散，离散）
    • （离散，连续）→（离散，离散）
• 数字特征
  • 数学期望
    • 有X、g(x)、g(x,y)多种形式
    • 最值：若Xi(i=1,2...,n)独立同分布，其分布函数F(x)，概率密度为f(x)，记Y=min{X1,X2...Xn},Z=max{X1,X2...Xn}，则
    • 分解：
    • 性质：
  • 方差
    • 定义：DX=E[(X-EX)^2]，X的方差就是Y=(X-EX)^2的数学期望
    • 定义法;
    • 公式法：
    • 分解：
    • 性质：
  • 常用分布的EX、DX
  • 协方差Cov(X,Y)与相关系数rxy
  • 独立性与不相关性的判断
    • 用分布判独立
    • 用数字特征判断不相关
    • 重要结论
      • 如果X与Y独立，则X,Y不相关，反之不然
      • 由（1）知，如果X与Y相关，则X，Y不独立
      • 如果（X,Y)服从二维正态分布，则X，Y独立ÛX,Y不相关
      • 如果X与Y均服从0-1分布，则X,Y独立ÛX,Y不相关
  • 切比雪夫不等式
    • 设随机变量X的数学期望（EX）与方差（DX）均存在，则对任意，e>0
• 大数定律与中心极限定律
  • 依概率收敛
    • 以上定义中将随机变量X改为a也成立
    • 步骤：构造½X-a½；证明极限
  • 大数定律
    • 切比雪夫不等式
    • 辛钦大数定律
    • 伯努利大数定律
    • 在满足一定条件时，大数定律都在讲同一个结论
  • 中心极限定律
    • 列维-林德伯格定律
    • 棣莫弗-拉普拉斯定理
  • 二项分布概率计算的三种方法
    • 设X~B(n,p):当n不太大时（n≤10），直接计算
    • 当n较大且p较小时（n>10,p<0.1)，l=np适中，根据泊松定理有近似公式
    • 当n较大而p不太大时（p<0.1,np≥10），根据中心极限定理，有近似公式
• 统计量及其分布
  • 概念
    • 研究对象的某数量指标的全体称为总体X，n个相互独立且与总体X具有相同概率分布的随机变量X1,X2,X3...Xn所组成的整体称为来自总体X的容量为n的一个简单随机样本，简称样本。一次抽样结果的n个具体数值（x1,x2,x3...xn)称为样本X1,X2,X3...Xn的一个观测值（样本值）。
  • 统计量：设X1,X2,X3...Xn是来自总体X的简单随机样本，则相应的统计量
    • 样本均值：
    • 样本方差（样本二阶中心距的修正）：
    • 样本标准差：
    • 样本K阶原点矩：
    • 样本K阶中心距：
  • 统计量的分布
    • 正态分布
      • 概念公式：X~N(m,s^2)
      • 上a分位点:若X~N(0,1)，P{X>ma}=a (0<a<1)。称ma为标准正态分布的上a分位点
      • 性质：F（0）=1/2，F(-x)=1-F(x)
    • 卡方分布
      • 概念
      • 上a分位点
      • 性质
    • t分布
      • 概念
      • 上a分位点
      • 性质：
    • F分布
      • 概念
      • 上a分位点：
      • 性质：
    • 常见分布的可加性
      • 二项分布
      • 泊松分布
      • 正态分布：
      • 卡方分布
    • 正态分布总体下的常用结论：
• 参数估计与假设检验
  • 点估计和评价标准
    • 概念
      • 点估计：一般是点估点的近似估计 设总体X的分布函数F(Xi;q)（可以是多维的），其中q是一个未知参数，X1,X2,X3...Xn是取自总体X的一个样本。由样本构造一个合适的统计量q^(X1,X2...Xn)作为参数q的估计，则称统计量q^(X1,X2...Xn)为q的估计量。 如果x1,x2...xn是样本的一个观测值，将其带入估计量q^中，得到值q^(X1,X2...Xn)，统计学中称这个值为未知参数的估计值
    • 矩估计
      • 矩估计以低阶作为原则，能用一阶不用二阶。
      • 一阶矩：令
      • 二阶矩：令
    • 最大似然估计
      • 概念：对未知参数q进行估计时，参数q=？时，观测值出现的概率最大
      • 写似然函数
      • 求参数
        • 若似然函数有驻点，则令dL/dq=0或dlnL/dq=0，解出q^
        • 若似然函数无驻点（单调），则用定义求q^。X(1)/X(n)
        • 若似然函数为常数，则用定义求q^，此时q^不唯一。
    • 常见分布的矩估计量和最大似然估计量
    • 估计量的评价
      • 无偏性
        • 对于估计量q^，若Eq^=q，则称q^为q的无偏估计
      • 有效性
        • 若Eq1^=q，Eq2^=q，即q1^，q2^均是q的无偏估计量
        • 当Dq1^<Dq2^时，称q1^比q2^有效
      • 一致性（相合性）（只针对大样本n®∞）
        • 只针对大样本n®∞
          • 切比雪夫不等式（期望方差存在）
          • 辛钦大数定律（独立同分布，期望存在）
  • 区间估计与假设检验
    • 区间估计
      • 概念：设q是总体X的分布函数的一个未知参数，对于给定a（0<a<1)，如果由样本X1,X2,X3...Xn确定的两个统计量q1^=q1^(X1,X2...Xn)，q2^=q2^(X1,X2...Xn)使 P{q1^(X1,X2...Xn)<q<q2^=q2^(X1,X2...Xn)}=1-a
      • 1.称（q1^，q2^）是q的置信度为1-a的置信区间 2.q1^和q2^分别称为q的置信度为1-a的双侧置信区间的置信下限和置信上限 3.1-a称为置信度或置信水平 4.a称为显著水平 5.如果P{q<q1^}=P{q<q2^}=a/2，则称这种置信区间为等尾置信区间
      • 单个正态总体均值和方差的置信区间
    • 假设检验
      • 概念：常常把没有充分理由，不能轻易否定的假设取为原假设（基本假设），记为H0，将其否定的陈述（假设）称为对立假设或备择假设，记为H1
      • 正态总体下的六大检验及拒绝域
    • 两种错误