线性代数第一章

有关行化简、线性组合、线性方程的解集，本脑图有助于帮助您熟悉知识要点，加强记忆。有需要的同学，可以收藏下哟。

线性代数第一章

• 行变换与简化阶梯型
  • 定理1：每个矩阵行等价于唯一一个简化阶梯型
  • 定理2：一个线性方程组是相容的等价于对应的增广矩阵最后一列不是主元列
    • （相容时）有自由变量，无穷解
    • （相容时）无自由变量，唯一解
• 线性组合
  • y可表示为c1v1+c2v2+...+cnvn（c为标量，v为向量）
    • 对应增广矩阵有解
• 矩阵方程Ax=b
  • 定理3：增广矩阵-线性方程组-矢量方程组-矩阵方程
  • 定理4：对于Rm中每个b，Ax=b有解
    • ①A的各列生成Rm
    • ②A在每一行都有一个主元位置
    • ③每个b都是A的列的一个线性组合
  • 定理5：运算性质
    • A(u+v)=Au+Av
    • A(cu)=c(Au)
  • m*n矩阵A将xn化为xm，即从Rn空间变换到Rm空间
• 线性方程的解集
  • 齐次（homogeneous）方程
    • Ax=0
      • 一定有平凡解（x=0)
      • 有解 且当且仅当至少有一个自由变量时有非零解
        • 解释：若没有自由变量，则解唯一，又有零解，则为唯一解；有自由变量，就有无穷解
  • 非齐次方程
    • Ax=b(b!=0)
  • 定理6：设方程Ax=b对某个b是相容的，p为一个特解，则Ax=b的解集是所有形如w=p+v的向量的集，其中v是齐次方程Ax=0的任意一个解(A(p+v)=Ap+Av=Ap+0=b)
  • 描述
    • 外显描述：如x=c1v1+c2v2
    • 內显描述：如Ax=b（即需要求解，不能直接看出）
  • 线性无关与相关
    • A各列线性无关,当且仅当 Ax=0仅有平凡解
    • A各列线性相关，即Ax=0存在非平凡解
    • 定理7（非常重要）：向量集合S={v1,v2...vp}线性相关，当且仅当S中至少有一个向量是其他向量的线性组合。事实上，若S线性相关且v1!=0,则有某个vj(j>1)是它前面的向量的线性组合
      • 定理9（特殊情况）：若其一个向量为0，则这个向量集合线性相关
    • 定理8：若一个向量组{v1,v2...vp}的向量个数p大于向量元素个数n(v∈Rn),那么这个向量组线性相关
      • 解释：化为矩阵，则矩阵必有自由变量，所以Ax=0必有非平凡解
  • 线性变换T
    • 概念：定义域(domain)，余定义域(codomain)，值域(range of T)
    • 定义：T为线性变换，则对于T的定义域中一切向量u,v和标量c，有①T(u+v)=T(u)+T(v);②T(cu)=cT(u)
      • 可简化为T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)
      • 必有T(0)=0
    • 定理10：若T为线性变换，则存在唯一的矩阵A,使对Rn中一切x，有T（x)=Ax;
    • 定理11：若T：Rn->Rm为线性变化，则T是一对一的当且仅当方程Ax=0仅有平凡解
    • 定理12：若T：Rn->Rm为线性变化，A为T的标准矩阵，则有①T把Rn映上到Rm（值域为Rm) 当且仅当 A的列生成Rm;②T是一对一的，当且仅当A的列线性无关（Ax=0仅有平凡解）
• 有自由变量