线性代数第五章 特征值与特征向量

线性代数特征值与特征向量，非常详尽并且简明扼要的梳理了相关知识点。让你事半功倍，欢迎大家一起来学习！非常值得收藏学习！

线性代数第五章 特征值与特征向量

• 特征向量eigenvalue
  • 定义：A为n×n矩阵，x为非零向量，若存在数l使Ax=lx有非平凡解x，则称l为A的特征值，x称对应于l的特征向量（eigennvector）
    • l可为0，x不可为0；l有限，x数量无限
• 特征值eigenvalue
  • 不能用行化简来求特征值！A的阶梯型通常不显示出A的特征值!
  • l是A的特征值当且仅当（A-lI)x=0有非平凡解
    • （A-lI)的零空间是对应l的特征空间(eigenspace)
  • 0是A的特征值当且仅当A不可逆
    • 否则Ax=0只有唯一解，即0解
  • 定理2：l1,...,lr是n×n矩阵A相异的特征值，v1,...,vr是与l1,...,lr对应的特征向量，，那么向量集合{v1,...,vr}线性无关
  • 若l是A的特征向量，即Ax=lx，有
    • A的平方的特征值为l的平方®AAx=lAx=llx
      • 更高次也同理
    • A-1的特征值为1/l®A-1Ax=A-1lx=x,所以A-1x=1/l x
• 特征方程
  • 特征多项式（characteristic polynomial）
    • A的特征多项式即为（A-lI）的行列式的表达式
  • 特征方程
    • det(A-lI)=0为A的特征方程
    • 数l是n×n矩阵A的特征值的充要条件是l是特征方程det(A-lI)=0的根
    • l作为特征方程根的重数称为l的（代数）重数(algebraic multiplicity)
      • 特征方程次数为n,由代数基本定理，有n个解®代数重数之和为n
• 相似性
  • 定义
    • 假如A和B是n×n矩阵，如果存在可逆矩阵P，是PAP-1=B,或等价地A=PBP-1,则称A相似于B或B相似于A，即AB是相似的
    • 把A变为P-1AP的变换称为相似变换（similarity transformation）
  • 定理4：若n×n矩阵A和B是相似的，那么它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值和相同的重数
• 对角化diagonalization
  • 定义
    • 如果方阵A相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P和对角矩阵D，有A=PDP-1，则称A可对角化
  • 求对角矩阵的幂，对对角线上的元素求幂，结果即得
  • 定理5（对角化定理）：n×n矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量
    • 对于A=PDP-1,D为对角矩阵«P的列向量是A的n个线性无关的特征向量.此时,D的主对角线上的元素分别是A的对应于P中特征向量的特征值
    • A可对角化的充分必要条件是有足够的特征向量形成Rn的基，称这样的基为特征向量基(en eigenvector basis)
  • 若A可对角化，则AT与A-1均可对角化
  • 定理1：三角矩阵的主对角线的元素是其特征值
    • 不可把非三角矩阵进行行变换来求，会影响特征值！
  • 将A对角化®先求出特征值®分别求对于l的共n个线性无关的特征向量，可用对应特征空间的基®构造P®用对应的特征值构造D (要确认所找特征项链线性无关！)
  • 定理6：有n个相异特征值的n×n矩阵可对角化
    • 不为充要条件.有＜n个相异特征值也可能对角化
  • 定理7：设A为n×n矩阵，其相异的特征值是l1,...,lp
    • a.对于1≤k≤p,lk的特征空间的维数小于或等于lk的代数重数
    • b.矩阵A可对角化的充分必要条件是所有不同特征空间的维数之和为n
      • 特征多项式可完全分解为线性因子
      • 每个lk的特征空间的维数等于lk的代数重数
    • c.若A可对角化，Bk是对应于lk的特征空间的基，则集合B1,...,Bp中所有向量的集合是Rn的特征向量基（总数为n且线性无关）
• 特征向量与线性变换
  • V到W的线性变换
    • 定义
      • V是n维向量空间，W是m维向量空间，T是从V到W的线性变换.设B为V的基，C为W的基
      • M为T的矩阵表示，称为T相对于基B和基C的矩阵 M=[ [T(b1)]c [T(b2)]c ... [T(bn)c] ]
    • 核心
      • 坐标变换是线性变换，满足单射和满射
      • 变换之后的基是怎样的，就决定了[x]B是怎么变换成[T(x)]c的
  • V到V的线性变换
    • 当V=W，C=B时，M称为T相对于B的矩阵，简称为T的B-矩阵，记为[T]B
    • 变换后x在基B下的坐标表示[T(x)]B = [T]B [x]B
    • [T]B=[ [T(b1)]B ... [T(bn)]B ] 在同一个空间，基不变
  • Rn上的线性变换
    • 定理8（对角矩阵表示）设A=PDP-1,其中D为n×n对角矩阵，若Rn的基B由P的列向量组成，那么D是线性变换x|®Ax的B-矩阵
• 特征多项式对任意数l成立，都可带入；特征方程对l属于特征值时才成立