微分中值定理与导数的应用

高数第三章微分中值定理与导数的应用，涵盖了微积分中的多个重要定理、公式和概念，为学习和理解微积分提供了丰富的资源和参考。

微分中值定理与导数的应用

• 微分中值定理
  • 罗尔定理
    • 费马引理
  • 拉格朗日中值定理
    • 增量公式
  • 柯西中值定理
• 洛必达法则
  • 无穷小或无穷大的商
• 泰勒公式
  • peano型余项的n阶泰勒公式
    • 泰勒中值定理
  • Lagerange型余项的泰勒公式
  • 麦克劳林公式
  • jesen不等式
• 函数的单调性与曲线的凹凸性
  • 函数单调性
    • 单调性的判定
      • 函数单调区间的分界点总是驻点或不可导点
    • 不等式的证明
    • 方程根的个数
  • 曲线的凹凸性与拐点
    • 凹弧
    • 凸弧
    • 拐点处总有二阶导数为0或不存在
• 函数的极值与最大值最小值
  • 函数极值与其求法
    • 极值点必是驻点或不可导点；反之不对
  • 最大值最小值问题
• 函数图形的描绘
  • 一阶导数：上升下降区间
  • 二阶导数：凹凸区间
• 曲率
  • 弧微分
  • 曲率及其计算公式
    • 曲率即切线方向角对弧长的变化率
    • 计算公式：
  • 曲率半径与曲率圆
    • 曲线上点M处的曲率的倒数，称作曲线在这点处的曲率半径，记作ρ
    • 在点M处曲线的法线的某一侧上取一点D，使|DM|=ρ ，并以D为圆心，以 ρ为半径作圆。把这个圆称作曲线在点M处的曲率圆，把圆心D称做曲线在M处的曲率中心。
      • （1）曲率圆与曲线在点M处有共同的切线和曲率；
      • （2）在点M邻近与曲线有相同的凹向；