考研高等数学-Part2-共4部分

考研数学，根据《陈文灯考研数学复习指南》制作，高等数学部分几乎全覆盖，本人凭此斩获考研数学高分，全国大学生数学竞赛一等奖。适合考研，也适合本科学习，或者高数竞赛。此部分内容包含：4、定积分与反常积分5、微分中值定理6、常微分方程。

高数

• 定积分与反常积分
  • 概念定理
    • 比较定理
      • 积分后加绝对值≤加绝对值后积分
      • f(x)≥g(x)，则∫f(x)dx≥∫g(x)dx
      • f(x)≥0，则∫f(x)dx≥0
    • 估值定理
      • m(b-a)≤I≤M(b-a)，被积函数在区间内最值
      • 函数最值法或放缩法求取上下界
    • 积分中值定理
      • 闭区间连续，∫f(x)dx=f(ξ)(b-a)，也称平均值公式
    • 广义积分中值定理
      • • 
    • 对称区间注意奇偶性
    • 周期函数任意一个周期内的积分相等
      • 由此可对变限积分放缩：nT≤x≤(n+1)T
    • 定积分注意几何意义
      • 面积
    • 变限积分
      • 代入后记得对上下限求导，更多公式参见notability
      • 取极限的无穷积分，先判断敛散性
      • 含周期函数的无穷变限积分，使用夹逼准则假设x介于某一个周期之间
    • 牛顿—莱布尼茨公式
      • f(x)必须在闭区间连续
        • 函数若在区间内有间断，定积分也分段计算
      • • 定积分核心
    • 换元积分法
      • 变量替换的同时，一定记得换上下限；若看作统一整体而未换元，不用换限
      • x=φ(t)换元时，注意反函数t=φ(x)的单值、可微
    • 分部积分法
      • 同不定积分，记得代入上下限即可
      • 不便计算部分先放着，也许能消去
    • 反常积分
      • 无穷限的反常积分
        • 运用N-L公式，极限存在，则收敛
        • 上下限均无穷，则分开成两段，一般取0分界点；均收敛，则收敛
      • 有奇点的反常积分（瑕积分）
        • 端点无界，取左极限或右极限，极限存在则收敛
        • 中间点无界，分段相加，均收敛则收敛
      • 绝对收敛
        • ∫|f(x)|dx（无穷区间）或∫|f(x)|dx（x∈[a,b]，有奇点）收敛
        • 反常积分绝对收敛，则反常积分收敛
      • 对称区间上的反常积分
        • 偶函数
          • 二倍
        • 奇函数
          • 0
        • 反常积分不收敛时，上述结论不成立
      • 反常积分的判敛准则
        • 无穷限
        • 瑕积分
        • 比较法，大收小收，小发大发；p or m=1永远发散
        • 若积分极限不存在，但有界
          • 再乘以一个单调趋于0的因子，由狄利克雷判别法可得其积分收敛
        • 反证法
          • 假设其收敛，再乘以一个单调趋于0的因子也会收敛，但结果却发散，则矛盾
      • 欧拉积分
        • Γ函数
          • • 可证明其收敛
              • 同济高数第七版上册P268
            • 性质
              • 递推公式
                • Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0)
                • Γ(1)=1
                  • Γ(n+1)=n!
              • • Γ(s)→+∞
              • 余元公式
                • • s=1/2
              • 导数
            • 变形
              • x=y²
              • x=py
            • 实例
        • B函数（贝塔分布求积分）
          • B(α,β)=∫u^(α-1)·(1-u)^(β-1)du=Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β)(0→1,α,β>0)
          • 性质
            • 对称性
              • B(p,q)=B(q,p)
            • 递推公式
              • B(p,q)=(q-1)/(p+q+1)·B(p,q-1)(p>0,q>1)
              • B(p,q)=(p-1)/(p+q+1)·B(p-1,q)(p>1,q>0)
              • B(p,q)=[(q-1)(p-1)]/[(p+q-1)(p+q-2)]·B(p-1,q-1)(p>1,q>1)
          • 变形
            • u=cos²φ
              • B(p,q)=2∫sin^(2q-1)φ·cos^(2p-1)φdφ(0→Π/2)
            • u=v/(1+v),1-u=1/(1+v)
              • B(p,q)=∫y^(p-1)/(1+y)^(p+q)dy(0→+∞)
          • 实例
    • 重要公式
  • 题型解法
    • 估值问题
      • 估值定理或比较定理
    • 不等式证明
      • 估值定理或比较定理
      • 将积分区间分成若干子区间，每个子区间用比较或估值定理
      • 将被积函数进行放缩后再积分，尤其注意单调性放缩，取端点函数值
    • 求极限
      • 将被积函数在积分区间内放大或缩小（一般以n为指数幂的因子保留）
        • 夹逼
      • 定积分比较定理，再取极限
    • 分段函数
      • 认清积分限，分段积分求和
      • 被积函数由给定函数与某一简单函数复合而成，变量代换转化为给定函数形式
        • 同时换积分上下限
    • 带绝对值符号
      • 去掉绝对值
        • 解出绝对值内式子等于0的根，分成若干子区间
        • 先处理一下绝对值符号内的函数，尤其是三角函数可以想办法合并，再去掉绝对值
    • 含“变限积分”
      • 分部积分法，变上限积分取作u，其余部分取作dv
      • 将原积分化为二重积分，再更换累次积分次序
        • 注意积分与字母无关，变次序后可替换字母
        • 注意积分区域轮换对称性
    • 对称区间
      • 被积函数奇偶性
      • 作负变换x=-u处理
    • 分母为两项，分子为其中一项
      • 变量代换，变换前后积分上下限或者不变，或者交换位置
      • 变换后，分母中的另一项成为分子中的项，相加二倍处理
    • 三角有理式与其他初等函数组合
      • 变量代换把原积分分解成可抵消或易积分的若干个积分
      • 对称区间
        • x=-u
      • 积分区间[0,Π]
        • x=Π-u or Π/2-u
        • • 要求f(x)在[0,1]上连续
      • 积分区间[0,Π/2]
        • x=Π/2-u
        • • 要求f(x)在[0,1]上连续，sinx与cosx全部互换
      • 积分区间[0,Π/4]
        • x=Π/4-u
      • 若被积函数里面为二倍角，可以考虑将u写成u/2
      • 点火公式、华里氏公式
    • 已知一定积分，求另一定积分
      • 变量代换
        • 使未知定积分形式向已知靠拢，甚至结合分部积分
    • 定积分等式证明
      • 换元法
        • 适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件的命题
        • 依据定积分与积分变量无关的性质，改写等式一端的积分变量为u
        • 作变量代换
          • 若等式一端的被积函数或其主要部分为f(x)，另一端为f(g(x))
            • 代换x=g(x)
          • 若等式一端为f(x)，另一端为f(u)
            • 依据两端积分限作代换
        • 利用所作代换，由等式一端推导出另一端
        • 抽象函数以三角函数为中间变量
          • 一端f(sinx)，一端f(sinu)
          • 采用x=Π-u，而不依靠积分限
        • 抽象函数中，中间变量含有参数，中间变量整体变量替换为u
        • 换元法去根号，尤其是当根号内部没有平方项时
        • 将积分限较复杂一方分解出一个与另一端相等的积分式，证明其余项之和为零
      • 分部积分法
        • 适用于被积函数中含有变限积分或f´(x)的命题
      • 构造辅助函数法
        • 适用于证明在积分限中至少存在一个点x0，使等式成立的命题
        • 将x0改成x，移项使等式一端为零，另一端则为所作辅助函数F(x)或F´(x)
        • 验证F(x)满足介值定理或微分中值定理的条件
        • 由介值或微分中值定理，可证
      • 泰勒公式法
        • 适用于被积函数f(x)具有二阶或以上连续导数的命题
        • 作辅助函数F(x)=∫f(t)dt(下：a，上：x)
        • 将F(x)在所需点处（一般是根据右边表达式确定展开点）进行泰勒展开
        • 对泰勒余项作适用处理（一般是利用介值定理）
    • 定积分不等式证明
      • 定理
        • 比较定理、估值定理、函数单调性、微分与积分中值定理、泰勒公式
      • 不等式
        • a²+b²≥2ab；a>0,a+1/a≥2
      • 柯西不等式
        • (∫f(x)g(x)dx)²≤(∫f²(x)dx)(∫g²(x)dx)
          • 上下限a→b
      • 仅告知被积函数连续的命题
        • 作辅助函数较简单
        • 将要证结论中的积分上限（或下限）换成x，式中相同的字母也换成x，移项使不等式一端为0，则另一端的表达式即为所作辅助函数F(x)
        • 求F(x)的导数，判断F(x)单调性
        • 求F(x)的积分区间[a,b]的端点值F(a)、F(b)，其中必有一个为0，结合单调性有F(a)>（或<）F(b)
      • 被积函数f(x)一阶可导，又至少一个端点的函数值为0（f(a)=0或f(b)=0）的命题
        • 思路一
          • 写出含这个端点的拉格朗日中值定理
            • f(x)=f(x)-f(a)=(x-a)f´(ξ)
              • f(a)=0
            • f(x)=f(x)-f(b)=(x-b)f´(ξ)
              • f(b)=0
          • 根据题意进行不等式的放缩
          • 用定积分比较定理，估值定理或函数的绝对值不等式等定积分性质作分析处理
        • 思路二
          • 写出等式（N-L公式）
            • f(x)=f(x)-f(a)=∫f´(t)dt(上：x；下：a)
              • f(a)=0
            • 或f(x)-f(ξ)=∫f´(t)dt(上：x；下：ξ)
          • 利用定积分比较定理、估值定理或绝对值不等式进行分析处理
      • 被积函数f(x)二阶或以上可导，又知最高阶导数符号的命题
        • 写出f(x)的泰勒展开式，根据题意进行放缩
    • 计算反常积分
      • 区别类型（无穷积分、瑕积分），对既有无穷积分又有瑕积分的混合型，先进行分解，使各单个积分为只有一个瑕点的瑕积分，或只有一个积分为无穷的无穷积分
      • 求出被积函数原函数
      • 按定义求出各反常积分的值
      • 各个部分求代数和
    • 反常积分的判敛
      • 直接法
        • 敛散性定义判别
          • 无穷级数部分内容
      • 间接法
        • 判别准则判别（绝大多数情况用这个）
          • 前面所提及的判别准则
    • 题设条件或欲证结论中有定积分时
      • 先用积分中值定理对该积分式进行处理
    • 定限或变限积分，被积函数或其主要部分为复合函数
      • 变量替换使之成为简单形式f(u)
• 微分中值定理
  • 概念定理
    • 有界性
      • 闭区间连续
    • 最值定理
      • 闭区间连续
    • 介值定理
      • 闭区间连续，“存在点”可取端点值
    • 零值定理
      • 闭区间连续，端点函数值严格异号，则开区间存在“零点”，该点不可取端点值
        • 推广：开区间端点单侧极限存在也可
    • 费（尔）马定理
      • 函数在x0邻域有定义，且该点取极值，若可导，有f´(x0)=0
    • 罗尔定理
      • 闭区间连续，开区间可导，端点函数值相等，开区间内存在一点f´(ξ)=0
    • 拉格朗日中值定理
      • 闭区间连续，开区间可导
        • f(b)-f(a)=(b-a)f´(ξ)=(b-a)f´[a+θ(b-a)],0<θ<1
      • 推论
        • 若f´(x)=0，x∈[a,b]
          • f(x)=C(C是常数)，x∈[a,b]
    • 柯西中值定理
      • f、g在同一闭区间连续，开区间可导，且g´(x)≠0
        • 开区间
    • 泰勒公式
      • x0邻域内有n+1阶导数，x为邻域内任一点，x与x0之间至少存在一点ξ
      • 拉氏型n阶泰勒余项
      • 皮亚诺型n阶泰勒余项
      • x0=0时，称为n阶麦克劳林公式
  • 题型解法
    • 闭区间连续函数证明
      • 直接法
        • 最值定理确定函数值域范围，用介值定理证明
        • 适用于闭区间[a,b]上存在一点η，使得关于η的关系式成立
      • 间接法
        • 作辅助函数F(x)
          • 若作F(x)过程中无积分运算
            • 验证F(x)满足零值定理
          • 若作F(x)过程中有积分运算
            • 验证F(x)满足罗尔定理
        • 适用于开区间(a,b)上存在一点η，使得关于η的关系式成立
        • 构造函数F(x)方法
          • 欲证结论中η改成x，移项使等式一端为零，另一端记作F*(x)
          • 令F(x)=F*(x)
          • 验证F(x)是否满足零值定理
            • 满足，结论得证；不满足，下一步
          • 令F´(x)=F*(x)→F(x)=∫F*(x)dx+C（令C=0）或F´(x)=k(x)F*(x)→F(x)=∫k(x)F*(x)dx
          • 验证F(x)是否满足罗尔定理
            • 满足，结论得证；不满足，下一步
          • 令F"(x)=F*(x)
            • 将F(x)在指定点展开成一阶泰勒公式，得证
    • 证明给出的函数满足某中值定理
      • 验证f(x)满足某中值定理的条件
      • 若条件满足，找出定理结论中的η值
    • 证明某个函数恒等于一个常数
      • 利用拉格朗日中值定理推论（导数为零）
    • 证明存在一个点使函数n阶导数为零:
      • 验证f的n阶导数在包含x=η于其内的区间上满足零值定理条件
      • 验证η为f的n-1阶导数的最值或极值点，用极值存在的必要条件或费马定理
      • 验证f的n-1阶导数在包含x=η于其内的区间上满足罗尔定理条件
      • 利用泰勒公式
    • 证明至少存在一个点使函数n阶导数为k（k≠0）（f^(n)(η)=k）或由a、b、f(a)、f(b)、η、f(η)、f´(η)等各阶导数所构成的代数式成立
      • 作辅助函数F(x)
        • 原函数法（微分方程法）
          • 欲证结论中η改成x
          • 将式子写成容易去掉一次导数符号的形式（即易积分）
          • 积分去掉一次导数符号，移项使等式一端为零，另一端记作F(x)，取常数C=0
        • 常数k值法
          • 适用于常数部分可被分离出的命题
          • 令常数部分为k
          • 作恒等变形，使等式一端为a及f(a)，另一端为b及f(b)构成的代数式
          • 分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式
            • 是，则把字母a或者b改成x；则变量替换后的一端表达式则为辅助函数
            • 如：f(b)-kb=f(a)-ka，则F(x)=f(x)-kx
      • 验证F(x)满足罗尔定理
        • 若不易验证罗尔定理，可以再求导，验证导函数的介值、零点定理
        • 证明导数等于零，可以假设导数恒大或小于0，利用单调性验证条件否定其单调
    • 欲证结论：在（a,b）内至少存在两点η、ζ（η≠ζ）满足某个代数式
      • 两次拉格朗日中值定理
      • 一次拉格朗日中值定理，一次柯西中值定理
      • 两次柯西中值定理
      • 分离变量法，使等式一端只含有ζ，另一端只含有η的代数式，结合原函数分析
      • 区间分段法
        • 横坐标中取一特殊点分段
          • 区间内一特殊点，无特殊点有时可取中点
        • 纵坐标中取一特殊点分段
          • 介值定理取点
    • f(x)在[a,b]上连续，开区间可导，存在端点的函数值为0
      • 写出拉格朗日中值定理
    • 出现0≤θ(x)≤1
      • 拉格朗日中值定理（要求f(x)一阶可导）
      • 泰勒公式（要求f(x)二阶或以上可导）
    • f(x)二阶或以上可导
      • 在指定点展开泰勒公式
• 常微分方程
  • 概念定理
    • 微分方程中最高阶导数为几阶，通解中便有几个独立的常数“C”
    • 特解
      • 不含有常数C，或是通解中任意常数已被定解条件确定出来的解
    • 二阶线性微分方程
      • 齐次方程，即方程中f(x)=0，只含有y及其各阶导数组成的式子（其系数可含x）
      • 齐次方程的解
        • 对应非齐次方程的两个相异特解作差
          • • 注：求和并不是齐次方程的解
      • 齐次方程通解
        • 齐次方程任意两个线性无关的解线性组合
          • 函数线性无关/线性相关
            • 朗斯基行列式
      • 非齐次方程通解
        • 在齐次方程通解的基础上加上一个特解
      • 方程组合解
    • 二阶常系数线性微分方程
      • 齐次方程
        • 特征方程：
      • 非齐次方程
        • 特解
          • • 0不是特征根
            • 0是特征单根
            • 0是特征重根
          • • α不是特征根
            • α是特征单根
            • α是特征重根
          • • α不是特征根
            • α是特征单根
            • α是特征重根
          • • iω不是特征根
            • iω是特征根
          • • α±iβ不是特征根
            • α±iβ是特征根
        • 微分算子法、常数变异法、待定系数法
          • 常数变异法
            • 计算齐次方程解，令解中常数为x的函数，代入方程求解
    • n阶常系数线性微分方程
      • 齐次方程
        • λi为n个相异实根
          • 通解为
        • λ=k为m(m≤n)重根
          • 通解中含有
        • λ=α±iβ为m(m≤n)重复数根
          • 通解中含有
      • 非齐次方程
        • 微分算子法
          • • D表示微分，1/D表示积分，但是积分常数C不写
        • • • • k为F(k)的m重根，分母表示m阶导数
        • • • • (-α²)为F(-α²)的m重根，分母表示m阶导数（求导时不用管括号内内容）
        • • • • Q(D)为1除以按升幂排列的F(D)的商式，最高次数取到m（即x的最高次数）
          • • • F(D)中无常数项，提一个D产生常数项，除完后再把提出来的D算进去
        • 特别补充
          • 遇到cosx或sinx如果不好算，考虑复数的实部或虚部
            • • 欧拉公式
  • 各类解形式及其解法
    • 一阶微分方程
      • 可分离变量方程
        • • 直接分离后积分
      • 齐次方程
        • • 换元u=y/x，y=ux；扔掉y
      • 可以化为齐次型的方程
      • 一阶线性方程
        • • 常数变异法
            • 对应齐次方程通解
            • 令原方程的解为
            • 代入原方程整理得
          • 通解
            • • 
              • 总结就是对于积分得到lnf(x)的情况：最后一个积分才需要加绝对值
      • 伯努利方程*
      • 全微分方程*
        • • 通解
          • 也不一定要积分，可以全部凑微分，最后总合成d[u(x,y)]的形式
    • 注
      • 方程中出现f(xy),f(x±y),f(x²±y²),f(y/x)等形式时，换元u=xy,x±y,···
      • ∫1/xdx，可加绝对值，也可不加；但初始条件中出现x=k(k<0)时，必须加
    • 可降阶的高阶方程
      • • 累次积分即可
    • 欧拉方程
      • 各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同
      • 变量替换化常系数方程
        • x=e^t,t=lnx,y看作t的函数
        • 解出来的是y关于t的函数，一定要还原成x
      • 采用特征方程、算子法辅助
    • 应用
      • 几何
        • 画草图，几何意义，解方程
      • 力学
        • 建立坐标系进行受力分析，牛顿第二定律F=ma，列出并求解方程
    • 已知常系数齐次或非齐次微分方程的解，反求微分方程
      • 齐次微分方程的解与特征根的关系