考研高等数学-Par4-共4部分

考研数学，根据《陈文灯考研数学复习指南》制作，高等数学部分几乎全覆盖，本人凭此斩获考研数学高分，全国大学生数学竞赛一等奖。适合考研，也适合本科学习，或者高数竞赛。此部分内容包含：10、多元函数微分学11、重积分12、曲线、曲面积分及场论初步13、函数方程与不等式证明。

高数

• 多元函数微分学
  • 概念定理
    • 二元函数极限
      • 要求点Q(x,y)以任何方式、任何方向、任何路径趋向P(x0,y0)时
        • f(x,y)→A(x→x0,y→y0)
      • 若沿两条不同路径，limf(x,y)(x→x0,y→y0)不相等，则极限不存在
        • 证明多元函数极限不存在的有效方法
    • 二元函数连续
      • 函数全增量在自变量增量趋向于0时极限为0
      • 该点邻域有定义，极限存在且等于函数值
    • 偏导数、全导数、全微分
      • 偏导数
        • x增加，y不变，函数增量除以x增量，即为对x的偏导
          • f´x(x0,y0)=lim[f(x+Δx,y)-f(x,y)]/Δx(Δx→0)
        • 在分界点处的偏导数，用定义求
        • 若二阶混合偏导数在区域内连续，则偏导数与求其次序无关
        • 求偏导时，其余自变量视为常数，用一元函数求导方式即可
      • 全导数
        • z=f(u,v,w),u,v,w全是t的一元函数
          • 链式求导
            • dz/dt
      • 全微分
        • Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，ρ=sqrt(Δx²+Δy²)
          • 可微充要条件：lim[Δz-(AΔx+BΔy)]/ρ=0(Δx²+Δy²→0)
      • 三者关系
        • 可微可以推出可导、函数连续，其他都不行
        • 一点可微
          • 该点x，y偏导均存在，且有dz=Zxdx+Zydy
        • 两个偏导数在一点邻域存在，在该点连续
          • 该点可微
    • 多元函数极值
      • 驻点
        • 一阶偏导为零的点
        • 驻点并不一定是极值点
      • 取极值必要条件
        • 该点一阶偏导全为0
          • 这里与一元函数不太相同，一元函数极值点甚至可以是不可导点
      • 取极值充分条件
        • 在一点邻域内有连续的二阶偏导数，一阶偏导全为0
        • [f"xy]²-[f"x²][f"y²]<0(B²-AC<0)
        • A（或C）>0，极小值；A（或C）<0，极大值
    • 隐函数极值
      • 隐函数求导法则求出y’=f(x,y)/g(x,y)
        • 第一充分条件
          • 在x0的去心邻域内，y’变号
        • 找出特殊点
          • y’=0，即驻点，f=0
            • 第二充分条件
              • 二阶导大于0
                • 极小值
              • 二阶导小于0
                • 极大值
          • y’不存在，即g=0
            • f≠0
              • 反证法或函数本身
              • 介值
                • 在x0的极小邻域内，有y0两侧的值
                  • 非极值
              • 单调
                • 若单调，则与函数连续性矛盾，在邻域内必有y0两侧的值
                  • 非极值
            • f＝0
              • 函数本身
    • 条件极值与无条件极值
      • 条件极值受其他约束
        • 注意使用重要不等式，条件极值也可以更简便
          • 如求：xyz最值，约束条件：x²+y²/4+z²/9=1
            • x²y²z²=36x²·y²/4·z²/9≤36[(x²+y²/4+z²/9)/3]³=36/27=4/3
          • 补充不等式
            • • xyz中有一个为0时也可也使用
        • 若区域内偏导数不为零，则无驻点
          • 此时直接计算边界上的极值
  • 题型解法
    • 已知某一函数全微分，求其中参数值
      • 积分求原函数
      • 二阶混合偏导在区域内连续，则相等
    • 复合函数
      • 对于复合函数，对中间变量u,v,w的偏导数仍然是以u,v,w为中间变量，x,y,z为自变量的函数，求导时必须重复使用复合函数求导法
      • 对抽象函数求偏导数，一定要设中间变量
    • 隐函数
      • 单个方程
        • 直接法
          • 直接对某一变量求偏导，一求到底，包括中间变量对该自变量的偏导
            • 整理变形得结果
          • 二阶或以上偏导数，此法更简便
        • 公式法
          • 所有自变量即使为别的自变量函数，求偏导时也认为是独立变量
      • 方程组
        • 三个变量、两个方程的方程组，一般是其中两个变量确定为第三个变量的一元函数
          • 即一个纯自变量
        • 三个变量，一个自变量
          • 方程组对同一个变量求编导
            • 克莱姆法则
        • 四个变量，两个自变量
          • 方程组对同一个变量求编导
            • 克莱姆法则+雅可比行列式
        • 当“常数”项移到等式另一侧时，不需要再考虑“负号”
        • 所求偏导是一阶，而又有一变量的属性不太明确的情况下
          • 采用全微分形式不变形来处理
    • 曲线的切线和法平面方程
      • 曲线参数方程，对参数求一阶导，代入一点，所得偏导数组合成矢量
        • 该矢量即为切线方向矢量，法平面法矢量
      • 曲线为两曲面交线（方程组）
        • 矢量为雅可比行列式
          • • 备注：矢量所求偏导对象轮换
    • 曲面的法线和切平面方程
      • 曲面方程，F=z-z(x,y)，求一点处偏导，所得偏导数组合成矢量
        • 该矢量即为法线方向矢量，切平面法矢量
      • 曲面为隐式方程F(x,y,z)=0,同上，求偏导即可
    • 无条件极值
      • 利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型
        • B²-AC
      • 利用全微分来判断
        • 假设有一函数u=f(x,y)在点(x0,y0)处
        • 如果df(x0,y0)=0,d²f(x0,y0)<0,则f(x0,y0)为极大值
        • 如果df(x0,y0)=0,d²f(x0,y0)>0,则f(x0,y0)为极小值
        • d²f(x,y)=f"x²dx²+2f"xydxdy+f"y²dy²
      • 配方法
        • 适用于多项式或类似于多项式的函数类型
          • 凑平方项，可轻易看出极值
    • 条件极值
      • 化为无条件极值问题求解
      • 更一般的是利用拉格朗日乘数法求解
        • “乘数法”所得到的点只是“可能"的极值点，到底是否是极值点及其类型，要依据拉格朗日函数F(x,y,z)的二阶微分d²F的符号来判断
      • 设目标函数为u=f(x,y,z)，约束条件为φ(x,y,z)=0，求极值
        • 化为无条件极值
          • 由φ(x,y,z)=0中解出z=z(x,y)(不一定能解出)
          • 代入u=f(x,y,z)中，得u=f[x,y,z(x,y)]
          • 再按无条件极值求解
        • 拉格朗日乘数法
          • 作辅助函数
            • F(x,y,z)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)
          • 解方程组（求偏导为0，加入函数φ(x,y,z)=0）
            • 解出驻点(x0,y0,z0)，求出极值
            • (求驻点时,先将含λ的项移到右边（再两式相除），然后通过前三个方程得出x与y的关系式(或x与y，z的关系式)，x与z的关系式(或x与y，z的关系式)，最后将关系式代人φ(x,y,z)=0中解出驻点
          • 注
            • 当f(x,y,z)含有绝对值符号时，由拉格朗日乘数法所作的辅助函数为F(x,y,z)=f²(x,y,z)+λφ(x,y,z)
            • 当目标函数f(x,y,z)比较复杂时，可取在相同的约束条件φ(x,y,z)=0下与f(x,y,z)具有相同驻点的简单形式f*(x,y,z)，作辅助函数F(x,y,z)=f*(x,y,z)+λφ(x,y,z)
            • 当有两个约柬条件φ(x,y,z)=0，ψ(x,y,z)=0时，相应地辅助函数设为F(x,y,z)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)+μψ(x,y,z)
    • 最值
      • 函数在闭区域连续，必有最值
      • 求出区域内“可疑”的极值点函数值，求出区域边界上的最值，比较大小
      • 如果是实际应用题， 知道f(x,y)在D内只有一个驻点，则函数在该点的值就是所求A的最大(小)值，不必再求f(x,y)在D的边界上的最值，也无需判别函数值是极大(或极小)值
    • 多元对称函数求偏导数
      • 对任一变元所得结果，可以经变元（或字母）的对换直接得到对其他变元的偏导
• 重积分
  • 概念定理
    • 二重积分
      • 几何意义：被积函数为正时，表示以被积函数为曲顶，积分区域为底的柱体体积
      • 无被积函数或被积函数为1时，表示区域面积
      • 对称性定理
        • 积分区域关于x轴对称，被积函数为y的奇偶函数
          • 奇函数，I=0
          • 偶函数，I=2I_(D1)
            • D1为积分区域上半部分
        • 积分区域关于y轴对称，被积函数为x的奇偶函数
          • 奇函数，I=0
          • 偶函数，I=2I_(D1)
            • D1为积分区域右半部分
        • 积分区域关于原点对称，被积函数同时为x，y的奇偶函数
          • 奇函数，I=0
          • 偶函数，I=2I_(D1)
            • D1为积分区域右半部分
      • 轮换对称性
        • 将积分区域中的变量x，y互换，被积函数中变量x，y也互换，其积分与原积分相等
      • 物理应用
        • 薄片质量
        • 薄片质心
          • 若面密度均匀(ρ是常数)，则质心为形心
        • 薄片关于x，y轴及原点的转动惯量
    • 三重积分
      • 物理意义：表示以被积函数为体密度的空间形体的质量
      • 物理应用
        • 形体质量
        • 形体质心
        • 形体关于x，y，z轴及原点的转动惯量
        • 引力
    • 性质
      • 比较定理
        • 同一区域函数大者积分大
      • 估值定理
        • 区域存在最值，积分介于最值与积分区域的面积或体积之积之间
      • 中值定理
        • 被积函数存在一点，其函数值乘以积分区域面积或体积，其值与积分相等
    • 曲面面积
      • 二元函数z=f(x,y)及其一阶偏导数连续，对应曲面与平行于z轴的直线只相交与一点，Dxy为曲面在xOy面投影，曲面面积为A
  • 题型解法
    • 极坐标确定积分限
      • 不画图的情况
        • 令ρ=0，得出θ的两个相邻的角度，小角为下限，大角为上限
    • 二重积分
      • 画出积分区域草图
      • 选择坐标系，主要依据积分区域形状，其次参考被积函数
        • 直角坐标系
          • 区域形状
            • 矩形、三角形、任意形
          • 被积函数
            • f(x,y)
          • 面积元素
            • dσ=dxdy
          • 积分形式
            • ∬f(x,y)dxdy
        • 极坐标系
          • 区域形状
            • 圆域、环域、扇域、环扇域
          • 被积函数
            • f(x²+y²),f(x/y),f(y/x)
          • 面积元素
            • dσ=ρdρdθ
          • 变量替换
            • x=ρcosθ,y=ρsinθ
          • 积分形式
            • ∬f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ
          • 若先对θ后对ρ进行积分，则应注意：积分域D的边界曲线均用极坐标表示；若以原点O为圆心的一系列同心圆与域D的边界曲线中的不同曲线相交，则应在交点处把ρ的区间分开处理
          • 椭圆
      • 选择积分次序
        • 先积分的容易，并能为后积分创造条件
        • 对积分区域的划分，块数越少越好
        • 以下积分应后积：sinx/x,sinx²,cosx²,e^(-x²),e^x²,e^(y/x),1/lnx
      • 确定上下限，作定积分运算
        • 后积先定限，限内划条线，先交下限写，后交上限见
        • 后积分变量，积分限为常数；先积分变量，积分限或为常数或为后积分变量的函数
      • 极坐标积分限
        • 极点O在区域边界之外
          • ρ1→ρ2,α→β
        • 极点O在区域边界之上
          • 0→ρ,α→β
        • 极点O在区域边界之内
          • 0→ρ或ρ1→ρ2,0→2Π
    • 三重积分
      • 类似二重
      • 坐标系
        • 直角坐标系
          • 积分形式
            • ∭fdxdydz(区域：Ω)
          • 体积元素
            • dv=dxdydz
          • 被积函数
            • f(x,y,z)
          • 区域形状
            • 长方体、四面体、任意形体
        • 柱坐标系
          • 积分形式
            • ∭f(ρcosθ,ρsinθ,z)ρdρdθdz
          • 变量替换
            • x=ρcosθ,y=ρsinθ,z=z
          • 体积元素
            • dv=ρdρdθdz
          • 被积函数
            • zf(x²+y²),zf(x/y),zf(y/x),其他轮换形式
          • 区域形状
            • 柱体，锥体，柱面、锥面及旋转抛物面与其他曲面所围成的形体
        • 球坐标系
          • 积分形式
            • ∭f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)r²sinφdrdφdθ
          • 变量替换
            • x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ
              • φ：z轴夹角；θ：x轴夹角
          • 体积元素
            • dv=r²sinφdrdφdθ
          • 被积函数
            • f(x²+y²+z²)
          • 区域形状
            • 球体或球体的一部分、锥体
              • 若是椭球类，换元x=|a|u,y=|b|v,z=|c|w转化为球坐标系
      • 先一后二
        • 确定z2(x,y),z1(x,y)
          • 投影xOy平面得Dxy
      • 先二后一
        • 先Dxy计算二重积分，得到关于z的表达式
          • 确定z1，z2（z此刻为常数）
    • 积分次序
      • 若不易积分，或要求更换积分次序的情况
      • 由不等式组画出区域草图，写出新的累次积分
      • 三重积分
        • 画三维图不易，采用另法
        • 在交换两个变量的积分次序时，第三个变量按照常数处理，交换次序结束后，再恢复变量面目
          • 仍需画图，不过是二维图
        • 只改变其中两个的相对顺序时，第三个不动
        • 题目所言的次序是指将三重积分写成三个积分连乘形式，再从左到右的顺序
          • 与实际积分计算次序刚好相反
    • 分段函数二重积分
      • 将被积函数及积分域的图形画出，根据几何图形的性质加以讨论
      • 被积函数有绝对值，也属于分段函数范畴
    • 二重积分等式的证明
      • 凡欲证结论：f(x,y)=0的命题，多用反证法
        • 假设某点不为0，并假设其大于0
        • 由函数连续性知其存在一个邻域使得f>0
        • 积分中值定理，领域内存在一点，使得定积分大于0，与题设矛盾
      • 幂次积分型命题
        • 幂次积分化为重积分，再化为另一次序的累次积分
        • 常用到重积分对区域的可加性，对积分变量的无关性
      • 被积函数为复合函数型命题
        • 变量替换法
          • x=ρcosθ,y=ρsinθ,求f对ρ的偏导
            • 再乘以ρ，往被积函数靠拢
            • 最后可能用到积分中值定理
    • 二重积分不等式的证明
      • 常用重积分的性质，尤其是估值和比较定理以及f²(x)+g²(x)≥2f(x)g(x)
      • 常用方法：估值法、判别式法、辅助函数法
      • 涉及函数平方的命题
        • 判别式法
          • 将f、g均视为常数，由(f-tg)²=f²+t²g²-2tfg≥0，再套上积分号
            • 得到关于t的二次三项式，故其判别式当且仅当Δ=B²-4AC≤0时不等号成立
        • 辅助函数法
          • 一般取积分上或下限为x，相应字母皆修改
            • 求导证明单调性
        • 二重积分法
          • 将平方写成两个积分之积，其中一个改变字母，将一重积分平方转化为二重积分
          • 将二重积分字母互换，积分与原式相等
          • 将互换字母前后的积分相加，利用不等式类似f²(x)+g²(x)≥2f(x)g(x)放缩
          • 放缩后将二重积分写成写成两个积分之积的形式，再将其中一个积分的字母换成和另一个相同的，从而得到积分的平方项
      • 单调性
        • 若f(x)单增
          • (x-y)[f(x)-f(y)]≥0
    • 积分域关于坐标轴（或坐标面）对称，被积函数为奇偶函数的二重（三重）积分
      • 利用被积函数奇偶性简化运算
    • 积分区域关于x,y,z均对称，字母互换对坐标区域无影响
      • 可以只算一个积分，别的相等
• 曲线、曲面积分及场论初步
  • 概念定理
    • 曲线积分
      • 对弧长的曲线积分
        • ∫f(x,y)dl
          • 或∫f(x,y)ds
        • 物理意义：以f为线密度的弧段L(AB)的质量
        • 与积分路径的方向无关，即从A→B还是B→A积分结果一致
      • 对坐标的曲线积分
        • ∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy
        • 物理意义：变力F=Pi+Qj沿L(AB)弧段所做的功
          • W=∫F·dl=∫(Pi+Qj)(dxi+dyj)
            • 点积形式
        • 与积分路径的方向有关，若方向改变，则积分变号
        • 格林定理
          • P、Q及其一阶导在闭区域上连续
            • ∮P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∬(dQ/dx-dP/dy)dxdy
              • 内部是偏导，此处无法键入
            • L是闭区域边界曲线，且按照正向（沿L前进，区域在左手方）
        • 积分∫F·dl与路径无关
          • ∮F·dl=0
            • 曲线为区域中任一闭曲线
        • P、Q在单连通域D内有一阶连续偏导数
          • dQ/dx=dP/dy
            • 积分∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路径无关
              • 所选路径不能包含偏导不连续的点
          • dQ/dx≡dP/dy
            • P(x,y)dx+Q(x,y)dy为u(x,y)的全微分
        • 三维情况
          • 全微分
            • P、Q、R求二阶偏导，若与相同形式偏导数相等，则为全微分
              • dR/dy≡dQ/dz,dP/dz≡dR/dx,dQ/dx≡dP/dy
        • P、Q在域D内有一阶连续偏导数
          • dQ/dx=dP/dy
            • ∮Pdx+Qdy(L1)=∮Pdx+Qdy(L2)
              • L1、L2为闭区域D内任意两条同向闭曲线，且各自所围区域中有相同的不属于D的点
                • 用于挖洞
      • 二者关系
        • ∫Pdx+Qdy+Rdz=∫(Pdx/dl+Qdy/dl+Rdz/dl)dl=∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dl
          • 其中余弦为弧段切线方向余弦
    • 曲面积分
      • 对面积的曲面积分
        • ∬f(x,y,z)dS
        • 物理意义：面密度为f的曲面质量
        • 与曲面的侧面选择无关，无需在乎方向
      • 对坐标的曲面积分
        • ∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
        • 物理意义：流体密度为ρ=1，速度场v=Pi+Qj+Rk，单位时间内流过曲面一侧的流量Q
        • 积分与曲面的侧有关，换侧变号
        • 奥—高公式
          • P、Q、R在三维闭区域Ω上具有一阶连续偏导数
            • ∯Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭(dP/dx+dQ/dy+dR/dz)dxdydz
            • 曲面是闭区域Ω边界曲面的外侧
      • 二者关系
        • ∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬(Pdydz/dS+Qdzdx/dS+Rdxdy/dS)dS=∬(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS
          • 其中余弦为曲面一点法线方向余弦
    • 斯托克斯公式
      • P、Q、R在曲面所张成的区域Ω内具有一阶连续偏导数，L为曲面的边界曲线
        • ∮Pdx+Qdy+Rdz=∬A
          • L的方向与曲面所取侧的法线方向满足右手法则
            • 右手四指指向L，拇指为法向
        • A为三阶行列式(a,b,c)
          • a={dydz,dzdx,dxdy},b={d()/dx,d()/dy,d()/dz},c={P,Q,R}
          • a={cosα,cosβ,cosγ},b={d()/dx,d()/dy,d()/dz},c={P,Q,R}
            • 有向曲面单位法向量
            • 另外还要补充微分dS
    • 场论初步
      • 方向导数
        • du/dl=Uxcosα+Uycosβ+Uzcosγ
          • 方向余弦
          • 另一方法参见notability
      • 梯度(grad u)
        • grad u=▽u=du/dxi+du/dyj+du/dzk
          • 该方向方向导数取得最大值
      • 通量
        • Φ=∬A·dS=∬Pdxdy+Qdzdx+Rdxdy
      • 散度(div A)
        • div A=▽·A=dP/dx+dQ/dy+dR/dz
      • 旋度(rot A)
        • 涡度
          • 三阶行列式(a,b,c)
            • a={i,j,k},b={d()/dx,d()/dy,d()/dz},c={P,Q,R}
  • 题型解法
    • 对弧长的曲线积分
      • 化为参变量的定积分计算
      • 画出积分路径图形
      • 把路径AB的参数式写出来
        • x=x(t),y=y(t),α≤t≤β
      • ∫f(x,y)dl=∫f[x(t),y(t)]·sqrt[x´²(t)+y´²(t)]dt
        • 参数小者α下限，参数大者β上限
      • 积分可以直接将曲线L的表达式代入积分式
      • 对称性
        • 普通对称性
          • 曲线L关于y轴对称
            • L1是L在y轴右侧的曲线
        • 轮换对称性
          • 对调x，y曲线L不变
      • 中值定理
        • 函数在L上连续
      • 不论方向，只论大小；定积分下限一定要小于上限
    • 对坐标的曲线积分
      • 化为参数的定积分求解
        • 把曲线AB的参数式写出来
          • x=x(t),y=y(t),α(起点)→β(终点）
        • ∫Pdx+Qdy=∫P[x(t),y(t)]·x´(t)+Q[x(t),y(t)]y´(t)]dt
          • 起点α下限，终点β上限
      • 格林公式
        • 注意条件
          • 若L不闭合，添加一边使其闭合再使用
      • 利用积分与路径无关条件求解
      • 三维
        • 不闭合
          • 用参方，同二维
        • 闭合
          • 利用斯托克斯公式化二重，甚至再利用奥—高公式化三重
      • 必须注意积分弧段的方向，只讲方向，不论大小
      • 对称性不讨论，以免混淆
    • 对面积的曲面积分
      • 化为投影域上的二重积分的计算
      • 画出曲面草图，并由曲面方程（如z=z(x,y)）写出其曲面微分
        • dS=sqrt[1+(Z´x)²+(Z´y)²]dxdy
      • 计算在投影面上的二重积分
      • 积分可以直接将曲面的表达式代入积分式
      • 曲面面积
      • 对称性
        • 普通对称性
          • 曲面关于yOz平面对称
            • Σ1是yOz前侧部分
        • 轮换对称性
          • 对调x，y曲面Σ不变
      • 与曲面侧方向无关
    • 对坐标的曲面积分
      • 利用奥—高公式
        • 曲面不封闭，补面
        • 若曲面在xOy平面上投影为一条线，且Q、P、R具有一阶连续偏导，加面使其封闭
      • 通过投影化为二重积分
        • ∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=±∬P[x(y,z),y,z]dydz+...
          • P前面的±取决于曲面法矢量与x轴的夹角，锐角为正
        • 若曲面在xOy平面上投影为一条线，且Q、P、R及其一阶偏导不连续，用此法
        • 注意投影不能重合，如果两部分投影为同一区域，分开计算
      • 积分可以直接将曲面的表达式代入积分式
      • 矢量的点积法
        • 曲面z=z(x,y)，其法矢量n={-f´x,-f´y,1},n0为其方向余弦组成向量
          • 其他曲面类似
        • I=∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬{P,Q,R}·{dydz,dzdx,dxdy}=∬F·n0·dS
        • cosγdS=dxdy
          • dS=dxdy/cosγ
            • 代入
        • I=±∬{P,Q,R}·{-f´x,-f´y,1}dxdy
          • 正负取决于曲面的侧与法矢量的方向是否相同
        • 结论
          • 要化成{dydz,dzdx,dxdy}中的哪一个，就把相应的法向量化为1
        • 若曲面在xOy平面上投影为一个区域，此法简便
      • 必须注意积分曲面所取的侧
      • 对称性（一般不讨论，以免混淆）
        • 对称
          • 奇函数
            • 2倍正向
          • 偶函数
            • 0
    • 在可以代入题目等式的积分中，若被积函数为等式中个别项，而积分区域关于自变量轮换对称，则积分与自变量无关，对任一积分变量积分结果相等，则可以构造新的被积函数，其结果与原积分成倍数关系
• 函数方程与不等式证明
  • 函数方程
    • 利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”来解方程
      • 函数内部参数整体代换，再换元
    • 利用极限求解函数方程
      • 由已知函数表达式递推，消去中间项，剩余项利用极限求值
      • 由已知极限，设出函数表达式；再由极限确定参数值
      • 由已知极限表达式确定所求函数微分方程，再依微分方程求解原函数
    • 利用导数的定义求解方程
      • 已知一点导数存在，且可得到该点函数值，写出其导数定义式（可由题目条件变形）
    • 利用变上限积分的可导性求解方程
      • 注意变限积分求导要求内部被积函数表达式不含有x，需将x提到积分号外面
    • 利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解
      • 函数表达式中定积分部分设为常数，得出函数新表达式，代入定积分解出常数
      • 函数连续性计算分段点函数值，解出积分常数值
    • 利用解微分方程的方法求解f(x)
      • 含有导数条件的函数方程的求解
        • 写出导数表达式，联立条件，解出微分方程
      • 含有偏导数条件的函数方程的求解
        • 写出偏导数表达式，联立条件，解出微分方程
      • 满足全微分方程（或曲线积分与路径无关）条件（dP/dy≡dQ/dx）的函数方程求解
        • 从偏导（即需满足的条件）相等入手
        • 任意曲线，且闭曲线积分为0
          • 积分与路径无关
  • 不等式的证明
    • 引入参数法
      • 判别式法（适用于积分式中含有平方项的情形）
        • 先丢掉积分号，设函数f±tg，有∫[f±tg]²dx>0，展开即可用判别式法
        • 所设函数不能恒为0，其平方后再积分才能说明大于0
      • 利用三角函数法（适用于函数的绝对值小于1的情形）
        • 然后将函数化为相应的三角函数，利用三角函数有界性判断取值范围
    • 利用微分中值定理
      • 在[a,b]上由题意作两函数f(t),g(t)
        • 写出微分中值公式（拉格朗日或柯西）
          • 根据需要进行放缩
      • 区间内补点
        • 较特殊的是取中点，或者题目中给定或已证特殊点
        • 或根据函数值取特殊点，比如函数值等间距、函数值正负（正负可假设）等
      • 注意特殊值0、1
        • 如ln1=0，e^0=1等等
      • 存在导数，存在0，一定要想到用拉格朗日中值定理进行尝试
    • 利用函数的单调增减性（重点）
      • 适用于某区间上成立的函数不等式，对于数值不等式通常是通过做辅助函数完成
      • 移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为0，另一端则为辅助函数f(x)
      • 求导并验证在指定区间增减性，求出端点函数值或极限值，作比较
        • 有时需要求二阶导
      • 文字不等式的证明方法
        • 将其转化为函数不等式，再利用单调增减性
        • 观察法，观察文字（如a,b）出现的次数，若哪个大于或等于2，则将该文字设为x
      • 涉及积分参考第四章《定积分及反常积分》
        • 另：定积分如果上下限分别相等，记得想办法合并
    • 利用函数的极值与最值
      • 适用于某区间上成立的函数不等式，作辅助函数F(x)比较函数极值与最值
        • 方法类似函数单调性
        • 可构造拉格朗日条件极值
          • 注意用二阶微分判断极大、极小
    • 利用函数图形的凹凸性
      • 区间中点函数值，端点函数值的平均值
        • 求二阶导利用凹凸性
    • 利用泰勒展开式
      • 适用于函数具有二阶及以上可导，且最高阶导数的大小或上下界可知的命题
      • 写出比最高阶导数低一级阶的函数的泰勒展开式
      • 恰当选择等式两边x与x0
        • 不要认为展开点一定以x0为最合适，有时以x为佳
          • 尤其当有两个点函数值相等或同一个点要在两个泰勒展式中使用时
      • 根据所给的最高阶导数的大小或界对展开式进行放缩
    • 杂例
      • 不等式中简单易处理项入手
      • 定积分可以拆开成多个长度为1的子区间，再利用单调性估值放缩
      • 定积分区间也可对半分
      • 存在一个点函数值大于等于某个值
        • 求函数最小值
        • 假设存在一点使函数取得最大值，想办法验证此点满足题意
      • 善于利用1和0，并且0乘以任何不为0的数仍然为0
        • 陈文灯P369-13.42
      • 凡涉及弧的长度的曲线积分一定要化为对弧长的曲线积分