随机变量及其分布

这是一篇关于随机变量及其分布的思维导图，主要内容包括：条件概率与全概率公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的数字特征，二项分布与超几何分布，正态分布。

随机变量及其分布

• 条件概率与全概率公式
  • 条件概率的本质是在缩小的样本空间上的概率
  • 条件概率与事件独立的关系
    • 作为条件的事件A的概率必须大于0，但在事件的独立性定义中没有这个要求
    • 如果事件A和B独立，概率都大于0，那么事件A发生不影响事件B的概率，同样事件B发生也不影响事件A发生的概率
  • 概率的乘法公式
    • 对于任意两个事件A和B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A)
    • 推广：由条件概率公式得到多个事件积事件的概率乘法公式
  • 条件概率的性质
    • 1.P(W|A)=1
    • 2.如果事件B和C互斥，则P(BÈC|A)=P(B|A)+P(C|A)
  • 全概率公式
    • 数学本质是先利用一组两两互斥的事件（和事件为必然事件）分割事件B，再由概率的加法和乘法公式求事件B的概率
  • 贝叶斯公式
• 离散型随机变量及其分布列
  • 问题背景：求随机事件的概率时，需要为随机试验建立样本空间，并涉及样本点和随机事件的表示问题
  • 随机变量概念：一般地，对于随机试验样本空间W中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量
  • 离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量
  • 两点分布或0-1分布
• 离散型随机变量的数字特征
  • 离散型随机变量的均值
  • 离散型随机变量的方差
• 二项分布与超几何分布
  • 二项分布
    • 伯努利试验：只包含两个可能结果的试验
    • n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的
    • 二项分布：在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为P(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：记作X~B(n,p)
    • 二项分布的均值与方差:如果X~B(n,p),那么E(X)=np，D(X)=np(1-p)
  • 超几何分布
    • 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为：
    • E(x)=np,D(X)=np(1-p)(N-n)/(N-1)
• 正态分布
  • 构建正态分布模型
    • 用频率直方图可以直观表示数据的分布情况，其中每个小矩形的面积表示X落在相应区间内的频率，所有小矩形面积和为1.设想当观测的数据越来越多时，根据频率稳定于概率的原理，就可以用一个非负函数描述随机变量X的取值的概率分布，且该函数的图像与x轴之间的面积为1，称这样的函数为随机变量的密度函数，概率模型由密度函数完全确定
  • 正态分布研究路径
    • 构建正态分布模型——正态分布定义——概率表示——正态密度曲线的特征——参数的意义——简单应用
  • 正态分布定义
    • 随机误差分布的解析式（正态密度函数）：
    • 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为
    • 标准正态分布：m=0，s=1
  • 分布参数的意义
    • x=m是曲线的对称轴，m是分布的中心位置，当参数s固定时，m的变化只影响曲线的对称轴位置，所以称m为位置参数，根据随机变量均值的意义，有E(X)=m.
    • s的大小决定了曲线峰值的高低，因此s的变化影响曲线的形状，所以称s为形状参数。当s较小时，分布比较集中，当s较大时分布比较分散。根据方差的意义，实际上有s(X)=s或D(X)=s2
    • 3s原则
    • Y=(X-m)/s一定符合标准正态分布