导图社区 第一章.函数与极限
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第一章.函数与极限
函数
映射
x的每个元素都能经过对应法则f得到y中唯一一个特定元素
函数的性质
有界性
函数的上下界不唯一
f（x)在x上有界的充分必要条件是它既有上界又有下界
单调性
奇偶性
周期性
并非每个周期函数都有最小正周期，如常函数
函数的种类
初等函数
反函数
复合函数
函数的运算
极限
分类
数列（整标函数）
只能用来证明极限，不能用来求极限
任意性：不唯一
确定性：事先给定
要多小有多小
N
依存性：
不等于二者间有函数关系
不唯一性：只要有N,N+1,N+2也可以
f(x)在x→x0时，若左极限=右极限，则x0处f（x）极限存在
极限存在准则
夹逼准则
单调有界数列必有极限
数列不仅有界，而且单调，那么数列的极限必定存在且一定收敛
柯西极限存在准则
极限运算
两个无穷小的和是无穷小
有限个无穷小之和也是无穷小
无穷个无穷小之和不一定是无穷小
有界函数与无穷小乘积是无穷小
常数与无穷小的乘积是无穷小
有限个无穷小的乘积是无穷小
若有limF(X)=A，limG(X)=B
复合函数的极限运算原则
两个重要极限
性质
唯一性
保号性
原函数收敛，子函数也收敛，且极限一样
无穷小与无穷大
无穷小：
无穷小的比较
高阶无穷小
低阶无穷小
k阶无穷小
同阶无穷小
等价无穷小
无穷大：
此时，x=x0为函数的铅直渐近线
f(x)为无穷大，必定无界
若f(x)为无穷小，那么1/f(x)为无穷大
闭区间连续函数的性质
连续性
一点处连续
f（x0）有定义
lim存在
f(x)左连续、右连续
lim=函数值
左右极限相等且等于函数值
服从四则运算
反函数与复合函数的连续性
初等函数的连续性
间断点
f(x)在x=x0没有定义
虽在x=x0有定义，lim不存在
虽x=x0，lim存在，但lim与函数值不同
第一类
可去间断点
跳跃间断点
左右极限存在
第二类
无穷间断点
振荡间断点
左右极限中存在∞
求函数极限的方法
单边极限：左极限=右极限
无穷小：有界函数*无穷小=0
连续函数上
极限的运算准则
