导数与微分

这是一篇关于大学高等数学第二章及第三章——导数与微分的思维导图，主要内容包括：导数，函数的微分，常用定理，函数的性质。

导数与微分

• 导数
  • 概念
    • 单侧导数
      • 左导数=右导数与函数在此处可导互为充要条件
      • 函数在开区间内可导，且左右边界处单侧导数都存在，则函数在该闭区间内可导
    • 几何意义
      • 在该点的切线斜率
        • 法线：与切线垂直的直线
    • 可导必连续，连续不一定可导
      • 不可导情况
        • 出现尖点处；在垂直切线的切点；不连续
  • 求导法则
    • 四则运算
    • 反函数求导
      • 反函数=直接函数导数的倒数
    • 复合函数求导
      • 由外向内层层求导
  • • 高阶导数
      • 莱布尼茨公式
    • 隐函数
      • 隐式求导法：y不是常数，本质为复合函数
      • 对数求导法
    • 参数方程
• 函数的微分
  • • A=f'(x)
    • dy=f'(x0)dx
  • 几何意义
    • 以直代曲
• 常用定理
  • 微分中值定理
    • 罗尔定理
      • 区间端点处函数值相等，则[a,b]上至少存在一点x0，使f'(x0)=0
    • 拉格朗日中值定理
      • 几何意义：区间的曲线内至少有一点的切线斜率与端点所成直线相等
    • 柯西中值定理
  • 洛必达
    • 如果不是未定式，就不能用洛必达
    • 不存在，则洛必达失效不能使用
  • 泰勒公式
    • • 佩亚诺余项
      • 拉格朗日余项
• 函数的性质
  • 单调性
  • 凹凸性
  • 极值
  • 最值
  • 曲率
  • • • 驻点：f'(x0)=0
      • 拐点：f"(x0)=0,且二阶左右单侧导之积<0
      • 极值点：f'(x0)=0，且一阶左右单侧导之积＜0，二阶导≠0