积分

这是一篇关于大学高等数学第四、五、六章，关于积分的思维导图，主要内容包括：不定积分，定积分，定积分的应用。

积分

• 不定积分
  • 概念
    • 原函数：dF(x)=f(x)，则F(x)为f(x)的原函数
      • 原函数存在定理：连续函数一定有原函数
      • f(x)有无限多个原函数
      • 几何意义：一组平行的曲线簇
        • 积分曲线：原函数的图形
    • 不定积分：
      • 积分号
      • 被积函数f（x）
      • 被积表达式dx
      • 积分变量x
  • 性质
  • 积分方法
    • 换元积分法
      • 第一类换元积分法（配元法）
        • 的高次幂一样可以用三角替换
      • 第二类换元积分法（可逆替换法）
        • 自变量范围的替换不能省
    • 倒替换
      • 通常用于分式型被积函数，分母次幂比较高
    • 分部积分法
      • 每次使用分部积分，都应用同一个部分与dx凑，不然会造成循环
      • 不同类函数的两个乘积，多用分部积分法
        • 顺序：反对幂指三
        • 善用移项
      • 无理式：用有理替换换成有理式
    • 有理替换
      • 高次幂多项式，裂项，用待定系数法
• 定积分
  • 曲边梯形的面积求法
    • 分割（大化小）
      • 近似（常代变）
        • 取极限
  • 概念与性质
    • 定积分对于积分区间具有可加性
    • 由极限的保号性：如果[a,b]上f(x)≥0，那么
    • 估值定理：若m,M分别为函数在[A,B]上最大/小值，那么
    • 积分中值定理：若函数在[a,b]上连续，那么必有
  • 牛顿莱布尼茨公式
    • 延伸：
  • 求解方法
    • 与不定积分相同
      • 定积分的奇偶性
        • 奇函数
        • 偶函数
      • 定积分的周期性
      • 定积分的递推公式
  • 反常积分（广义积分）
    • • 发散：极限不存在
      • 收敛：极限存在，且此极限为该反常积分的值
    • 无界函数的反常积分（瑕积分）
      • 瑕点（无界间断点）：函数在点a的任一邻域内都无界，则点a为瑕点
      • 当函数在[a，c），（c，b]上连续时，两部分之和为函数在[a,b]上的反常积分
      • 若a、b都是瑕点：
• 定积分的应用
  • 元素法
  • 几何学
    • 平面图形面积
      • 直角坐标系
      • 极坐标系
      • 参数方程：
    • 体积
      • 旋转体的体积
        • 截面是圆环时，
      • 平行截面面积为已知的立体体积
        • 楔状物等不好判断切片的立体图形，找过圆点且垂直于x轴的部分
          • 切片法
      • 关键在于它们是如何形成的，由此选择如何列式
    • 平面曲线弧长
  • 物理学
    • 变力做功
    • 水压力