重积分

这是一篇关于大学高等数学第十章——重积分的思维导图，主要内容包括：二重积分的概念与性质，二重积分的计算法，三重积分，重积分的应用。

重积分

• 二重积分的概念与性质
  • • dxdy为面积元素
    • 从x轴、y轴两个方向累积
    • 本质为非均匀分布的可求和的连续量
      • 连续必有二重积分
  • 性质
    • 线性性质
    • 积分区域的可加性
    • 若在D上,f(x,y)=1,则
    • 比较原理与保号性
      • 二重积分的绝对值≤绝对值的二重积分
    • 估值定理
      • 估值不等式
    • 二重积分的中值定理：
• 二重积分的计算法
  • 几何法
    • 仅限于用公式可以计算体积的集合体
  • 代数法
    • 直角坐标系
      • 通解
        • 画图确定积分区域的类型（穿针法）
        • 确定积分次序
        • 确定积分限（先画线再定极限）
        • 代入二重积分公式①或②
        • 从里往外做两次二重积分
      • 特殊情况（用一次二重积分无法得到其体积）
        • 用辅助线把图像绘成多个区域，且要么全是x型要么是y
      • 公式有
    • 极坐标
      • 常用极坐标的情况
        • 被积函数形如f(x**2+y**2)
        • 积分区域是圆、圆环、扇形
• 三重积分
  • • dxdydz为体积元素
    • 性质与二重积分一样
    • • 物理意义：几何体的质量
      • 几何意义：
  • 计算
    • 直角坐标
      • 坐标投影面法（先一后二）
      • 坐标轴投影法（先二后一）
    • 柱面坐标
      • • ρ为常数，为以z轴为轴的圆柱面
        • θ为常数，为过z轴的半平面
        • z为常数，为与xoy平面平行的平面
          • 所有过z轴的平面都是柱面
      • 体积元素dv=ρdρdθdz
    • 球面坐标
      • • r为常数，为以原点为心的球面
        • φ为常数，为以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面
        • θ为常数，为过z轴的半平面
• 重积分的应用
  • 二重积分
    • 几何
      • 计算曲顶柱体的体积
      • 计算曲面面积
        • 光滑：曲面在D内拥有元素偏导数
    • 物理
      • 计算平面薄片的质量
      • 计算质心
      • 计算转动惯量
  • 三重积分
    • 几何
    • 物理
      • 计算立体的质量
      • 计算引力