无穷级数

这是一篇关于无穷级数的思维导图，主要内容包括：常数项级数，幂级数，有助于理解和掌握幂级数和常数项级数的概念、性质及运算方法。

无穷级数

• 常数项级数
  • 常数项级数的概念
    • Sn为级数的部分和(即前n项和)
      • 迭代式
    • 若Sn有极限s，则无穷级数∑u收敛； 若 没有极限，则 发散。
  • 常数项级数的性质
    • 非零常数不影响其敛散性
    • 两个收敛级数可以逐项相加（减）
      • 一收敛一发散，则结果发散
      • 一发散一发散，则结果不一定发散
    • 在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性
    • • 给收敛级数加括号，仍收敛
      • 收敛级数去括号后不一定收敛
      • 加括号后发散，原级数必然发散
      • 任意发散级数去括号，仍然发散
    • 柯西审敛原理
    • 判断常数项级数敛散性的方法
      • Sn
  • 常见的常数项级数
    • 等比级数（几何级数）
    • 调和级数
  • 常数项级数的审敛法
    • 正相级数及其审敛法
      • 基本审敛性条件
      • 比较审敛法
        • 大收则小收，小散则大散
        • 比较审敛法的极限形式
        • 特殊情况
      • • 比值审敛法
        • 根值审敛法
    • 交错级数及其审敛法
      • 莱布尼茨定理
    • 绝对收敛与条件收敛（针对任意项级数）
      • 绝对收敛：级数各项绝对值所构成的正项级数收敛
        • 绝对收敛必收敛
      • 条件收敛： 发散
• 幂级数
  • 概念
    • 形如
  • 收敛性
    • 幂级数的收敛域总是一个关于x=0的对称区间
    • 阿贝尔定理
      • 比收敛点更靠近原点的点也是收敛点；比发散点更远离原点的点也是发散点
        • 推论：如果幂级数不是仅在x=0收敛，也不再整个数轴上收敛，那么必定存在一个正数R，使得|x|<R时，幂级数绝对收敛；|x|>R时，幂级数发散
          • R为收敛半径，（-R,R）为收敛区间
    • 如果
  • 运算
    • 幂级数的和函数在其收敛域上连续
    • 逐项积分公式
    • 逐项求导公式
  • 函数展开为幂级数
    • • 泰勒展开式
        • 收敛性定理：
      • 麦克劳林展开
    • 方法
      • 直接展开
        • 直接按公式计算幂级数的悉数，最后考察余项是否趋于0
        • 二项展开式
      • 间接展开
        • 换元法
          • 六个常见结论