向量组的线性相关性

这是一篇关于线性代数——向量组的线性相关性的思维导图，主要内容包括：向量组及其线性组合，向量组的线性相关性，向量组的秩，向量空间，线性方程组的解的结构。

向量组的线性相关性

• 向量组及其线性组合
  • 向量组：由n个数构成的有序数组
    • 含有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应
    • 向量以列矩阵的形式表示
    • 向量组的维数是每个向量众分量的个数
      • 实向量：分量全为实数的向量
      • 复向量：分量中有复数的向量
  • • 将n个向量表示为1个向量
    • 零向量可以用任何向量组线性表示
  • 线性表示
    • 若B每个向量都能由A线性表示，则称B可以被A线性表示
      • A,B若能互相线性表示，则A,B等价
• 向量组的线性相关性
  • 相关性质
    • 增加向量不改变相关性，减少向量不改变无关性
    • 增加分量不改变无关系，减少向量不改变相关性
    • 若向量组的维数<向量组中所含向量的个数，则该向量线性相关
    • 若A线性无关，且A+β线性相关，则β可由A线性表示，并且该表示法唯一
• 向量组的秩
  • 最大无关组
    • 向量组A线性无关
    • A中任意r+1个向量都线性相关
    • 最大无关组所含向量的个数r为向量组A的秩
      • 向量组的秩=它构成的矩阵的秩
      • 最大无关组不唯一
      • 最大无关组中所含向量个数唯一，即为向量组的秩
• 向量空间
  • 集合V非空且封闭（V中可以进行加法和数乘运算）
  • • 向量组A为V的一个基
      • 基为最大无关组
      • 基不一定唯一
    • r为V的一个维数，记为dimV=r
      • V的维数就是向量组的秩
• 线性方程组的解的结构
  • 齐次线性方程组
    • 解向量：向量的解
    • 基础解系：齐次线性方程组的解空间的一个基
    • 若R(A)=r，Ax=0的解空间S的维数dimS=n-r（即为方程组自由变量的个数）
  • 非齐次线性方程组