相似矩阵及二次型

这是一篇关于线性代数第五章——相似矩阵及二次型的思维导图，主要内容包括：向量的内积、长度及正交性，方阵的特征值与特征向量，相似矩阵，对称矩阵的对角化，二次型及其标准型。

相似矩阵及二次型

• 向量的内积、长度及正交性
  • 内积
    • • 性质
        • • (x,y)=(y,x)
          • (kx,y)=k(x,y)
          • (x+y,z)=(x,z)+(y,z)
        • x=0,(x,x)=0;x≠0,(x,x)≠0
  • 长度
    • • 非负性
      • 齐次性
        • 单位向量：||x||=1
        • 单位化
        • 夹角
  • 正交性
    • (x,y)=0，则x与y正交
      • 零向量与任何向量正交
    • n个两两正交的非零向量线性无关
    • 标准正交基
      • 标准正交基一定存在
      • 构造方法：标准正交化
        • 1、正交化（施密特正交化）
        • 2、标准化
    • 正交矩阵：
    • 正交变换：令x=py是线性变换，若p为正交矩阵，则称x=py是正交变换
      • 若x=py是正交变换，则||x||=||y||（保范性）
• 方阵的特征值与特征向量
  • 特征多项式
  • 性质
• 相似矩阵
  • 相似矩阵
    • 若A与B相似，则A~B，反之不成立
    • 若A与B相似，则它们有相同的特征多项式——有相同的特征值
  • • 充分条件：若A的特征值全是单根，则A一定可对角化
• 对称矩阵的对角化
  • 性质
  • 对称矩阵的可对角化
• 二次型及其标准型
  • • 对称矩阵与二次型相互转化
  • 若f是关于x的二次型，则存在正交变换x=py，使f成为关于y的标准二次型