函数极限连续

考研数学第一章，包含连续：左右连续且相等、连续函数性质；函数：形态、常见体型和技巧；极限：数列极限，函数极限，极限的性质，存在准则，无穷小与无穷大。

函数、极限、连续

• 函数
  • 性态
    • 单调性
      • 定义：1.fx在I区间上有定义。2.对于区间上任意x1＜x2时恒有Fx1＜Fx2，则称函数在区间上单调增加
      • 判定
        • 利用定义
        • 利用导数，设fx在区间I上可导
          • f'x＞0单调增
          • f'x≥0单调不减
    • 奇偶性
      • 定义：函数的定义域关于原点对称，奇函数在原点处的值为0
      • 判定
        • 利用定义
        • 利用导数，设函数可导
          • fx是奇函数——f'x是偶函数
          • fx是偶函数——f'x是奇函数
        • 连续的奇函数其原函数都是偶函数，连续的偶函数其原函数中有唯一一个是奇函数
    • 周期性
      • 定义：存在实数T＞0，恒有f(x+T)=f(x)
      • 判定
        • 利用定义
        • 可导的周期函数其导函数为周期函数
        • 周期函数的原函数不一定是周期函数（1+cosx）
        • notes
          • sin2x和|sinx|以Π为周期
          • 若fx以T为周期，则f（ax+b）以T/|a|为周期
          • 周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等
          • 周期函数的原函数是周期函数的充要条件是其在一个周期上的积分为0
    • 有界性
      • 定义：存在M＞0，任意x∈I，|fx|≤M，则称fx在I上有界
      • 判定
        • 利用定义
        • fx在闭区间上连续，则在闭区间上有界
        • fx在开区间上连续，且左右端点极限存在，则在开区间上有界，同等适用于无限区间情况
        • f'x在区间I上有界，则fx在I上有界
  • 常见题型和技巧
• 极限
  • 数列极限
    • notes
      • 数列存在——奇偶数列存在且相等
  • 函数极限
    • 概念
    • 定理：左右极限存在且相等则极限存在
    • notes
      • 需要分别讨论左右极限的三种
        • 子主题
      • 子主题
  • 极限的性质
    • 局部有界
    • 保号性
      • A＞0——fx＞0
      • fx≥0——A≥0
    • limfx=A——fx=A+ax，其中limax=0
  • 存在准则
    • 夹逼：左右存在且相等，则中间存在
    • 单调有界：单调性+有界
  • 无穷小与无穷大
    • 无穷小：比较谁趋向0的速度更快
    • 无穷大是N以后都很大，无界是存在N很大，前者可推后者
• 连续
  • 左右连续且相等：概念
  • 在Xo某去心领域有定义，但在Xo处不连续：间断点
    • 左右极限均存在：第一类间断点
      • 左右极限存在且相等：可去
      • 左右极限存在不相等：跳跃
    • 左右极限至少有一个不存在：第二类间断点
      • 无穷
      • 振荡
  • 连续函数性质
    • 连续函数的和差积商及复合仍连续
    • 基本初等在定义域内连续，初等在定义区间内连续
    • 闭区间上连续函数的性质
      • 连续则有界：有界
      • 存在最大最小：最值
      • ：介值
    • f（a）f(b)＜0，则必存在:零点定理
• 技巧
  • 求极限
    • 0/0
      • 洛必达
      • 等价无穷小
      • 泰勒
      • 非零因子极限求出、有理化、变量代换
        • 相同结构：拉格朗日
        • 积分等价代换
        • 见到根式
          • 有理化
          • 等价公式
          • 拉格朗日
        • ax~0，axβx~0，则（1+ax）βx次方-1~axβx
        • sinx：加项减项，降幂公式
    • ∞/∞
      • 洛必达
      • 分子分母同除以分子分母各项中最高阶的无穷大
      • 无穷大不等式关系：
    • ∞-∞
      • 通分化0/0
      • 根式有理化（同结构可用拉格朗日）
      • 提无穷因子，然后等价代换、变量代换、泰勒根式
    • 0×∞
      • 化为0\0或者∞\∞，一般处理无穷小换无穷大
    • • ：A=gx(fx-1)
      • 凑成基本极限公式
      • 改写指数
    • 幂指函数改写指数
  • 数列的极限
    • 不定式
      • 使用洛必达先转化成函数极限
      • 基本极限公式
    • n项和的数列极限
      • 夹逼：分子分母幂非齐次
      • 定积分定义：分子分母幂齐次
      • 一般主要看分母变化，夹逼和定积分同时存在时，一般先夹逼后定积分
      • 级数求和：级数公式，考虑幂级数，带入数值
    • n项连乘的数列极限
      • 夹逼
      • 取对数化n项和
    • 递推关系
      • 1.单调有界证收敛 2.limXn=A 3.带入求解A
      • 2.压缩映像：先求A，压缩因式|Xn-A|≤k|Xn-1 -A|，使lim|X1-A|无穷趋向于0
      • 单调性判断用1or2
        • Xn+1-Xn≥0，单增
        • 设Xn不变号
          • Xn＞0，当Xn+1/Xn≥1，则单增
          • Xn＜0，当Xn+1/Xn≥1，则单减
        • 设数列x1=a,Xn+1＝fXn
          • 若fx在I上单增，则X1≤X2时，Xn单增
          • 若fx在I上单减，则用方法2判断
    • 确定极限式参数
      • 洛必达
      • 提因子，等价代换（提-x时，根号里面不变号，根号外面变号）
    • 无穷小量阶比较
      • 洛必达：x~0时，fx是无穷小量，且f‘x是x的k阶无穷小，则fx是k+1阶
      • 无穷小代换
        • 是x的n(m+1)阶无穷小（x~0时，fx是m阶）
      • 泰勒：多项式参数
• 常考题型的方法
  • 极限的概念
    • 子主题
  • 求极限
    • 有理运算（前提是极限存在）：可将非零因子（构成整体乘除关系）带入求值
    • 基本极限：x的n次方和e的nx次方极限要分段
    • 等价无穷小
    • 等价无穷小代换
      • 乘除关系可以换
      • 加：limA/B≠-1
      • 减：limA/B≠1
    • 洛必达：上下同为0或∞
    • 泰勒
    • 夹逼：上下不齐次
    • 定积分：上下齐次
    • 单调有界