《高等数学 第三章 微分中值定理与导数的应用》

这是一篇关于第三章 微分中值定理与导数的应用的思维导图，主要内容包括：微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式，函数的单调性与曲线的凹凸性，函数的极值与最大值最小值，函数图形的描绘，曲率，方程的近似解。

第三章 微分中值定理与导数的应用

• 微分中值定理
  • 概述
    • 微分中值定理是导数应用的理论基础
  • 罗尔定理
    • 费马引理
      • 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x∈U(x0)，有
        • 或
      • 那么
    • 罗尔定理
      • 如果函数f(x)满足
        • 在闭区间[a,b]上连续
        • 在开区间(a,b)内可导
        • 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)
      • 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使得
  • 拉格朗日中值定理
    • 拉格朗日中值定理
      • 如果函数f(x)满足
        • 在闭区间[a,b]上连续
        • 在开区间(a,b)内可导
          • 需要和左极限及右极限比较
      • 那么在(a,b)内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使等式成立
        • 公式也叫拉格朗日中值公式
      • 也称微分中值定理
    • 有限增量定理
      • 自变量取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy存在准确表达式，即
        • 公式也叫有限增量公式
      • 某些问题中当自变量x取得有限增量Δx而需要函数增量的准确表达式时
    • 定理
      • 如果函数f(x）在区间I上连续，I内可导且导数为零，那么f(x)在区间I上是一个常数
      • x在区间I内指x∈I，且x不是I的端点
  • 柯西中值定理
    • 柯西中值定理
      • 如果函数f(x)及F(x)满足
        • 在闭区间[a,b]上连续
        • 在开区间(a,b)内可导
        • 对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0
      • 那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式成立
• 洛必达法则
  • 未定式
    • 如果当x→a(或x→∞)时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在
    • 这种极限叫做未定式，记作
  • 定理1
    • 设
      • 当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零
      • 在点a的某去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0
      • 存在（或为无穷大）
    • 则
  • 定理2
    • 设
      • 当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零
      • 当|x|＞N时f'(x)与F'(x)都存在，且F'(x)≠0
      • 存在（或为无穷大）
    • 则
• 泰勒公式
  • 泰勒(Taylor)中值定理1
    • • 称为函数f(x)在x0处（或按（x→x0）的幂展开）的n次泰勒多项式
    • 如果函数f(x)在x0处具有n阶导数，那么存在x0的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有
      • 其中
      • 称f(x）为在x0处（或按（x→x0）的幂展开）的带有佩亚诺（Peano）余项的n阶泰勒公式
      • Rn(x)的表达式称为佩亚诺余项，是用n次泰勒多项式来近似表达f(x)所产生的误差
      • 这一误差是当x→x0时比（x-x0）^n高阶的无穷小，但不能由它具体估算出误差的大小
  • 泰勒(Taylor)中值定理2
    • 如果函数f(x)在x0的某个邻域u(x0)内具有（n+1）阶导数，那么对任一x∈U(x0)，有
      • 其中
      • 公式称为在x0处（或按(x→x0)的幂展开）的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式
      • Rn(x)的表达式称为拉格朗日余弦
    • n=0时
      • 拉格朗日中值公式
  • 麦克劳林公式
    • 取x0=0
      • 带有佩亚诺余项的麦克劳林公式
      • 带有拉格朗日余项的麦克劳林公式
  • 例子
    • f(x)=ex带有拉格朗日余项的麦克劳林公式
      • 误差为
      • x=1
        • n=10
          • e≈2.718282
    • f(x)=sin x带有拉格朗日余项的麦克劳林公式
      • 其中
      • m=1
    • f(x)=cos x带有拉格朗日余项的麦克劳林公式
      • 其中
    • f(x)=ln(1+x)带有拉格朗日余项的麦克劳林公式
      • 其中
    • f(x)=(1+x)α带有拉格朗日余项的麦克劳林公式
      • 其中
• 函数的单调性与曲线的凹凸性
  • 函数单调性的判定法
    • 定理1
      • 函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导
        • 如果在(a,b)内f'(x)≥0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加
        • 如果y=f(x)在(a,b)内f'(x)≤0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少
      • 闭区间换成其他各种区间（对于无穷区间，要求在其任一有限的子区间上满足定理的条件），那么结论也成立
    • 驻点
      • 导数为零的点
    • 划分定义区间
      • 如果函数f(x)在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且在区间内只有有限个驻点，那么只要用函数的驻点及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f'(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调
  • 曲线的凹凸性与拐点
    • 定义
      • 设f(x)在区间I上连续，如果I上任意零点x1,x2
        • 恒有
          • 那么称f(x)在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）
        • 如果恒有
          • 那么称f(x)上的图形是（向上）凸的（或凸弧）
    • 定理2
      • 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么
        • 若在(a,b)内f''(x)＞0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的
        • 若在(a,b)内f''(x)＜0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的
    • 拐点
      • 设y=f(x)在区间I上连续，x0是I内的点
        • 如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了
        • 那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点
      • 判定步骤
        • 求f''(x)
        • 令f''(x)=0，解出这方程在区间I内的实根，并求出在区间I内的f''(x)不存在的点
        • 对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f''(x)在x0左、右两侧邻近的符号
          • 那么当两侧的符号相反，点（x0,f(x0)）是拐点
          • 当两侧的符号相同时，点（x0,f(x0)）不是拐点
• 函数的极值与最大值最小值
  • 函数极值及其求法
    • 定义
      • 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，如果对于去心邻域
        • 内任一x，有
          • 或
      • 那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）
    • 极值
      • 函数的极大值与极小值统称为函数的极值
    • 定理1
      • 必要条件
      • 设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则
    • 定理2
      • 第一充分条件
      • 设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心邻域内可导
        • 若x∈(x0-δ,x0)时，f'(x)＞0，而x∈(x0,x0+δ)时，f'(x)＜0
          • 则f(x)在x0处取得极大值
        • 若x∈(x0-δ,x0)时，f'(x)＜0，而x∈(x0,x0+δ)时，f'(x)＞0
          • 则f(x)在x0处取得极小值
        • 若
          • 时，f'(x)的符号保持不变，则f(x）在x0处没有极值
    • 求极值点步骤
      • 求出导数f'(x)
      • 求出f(x)的全部驻点与不可导点
      • 考察f'(x)的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否有极值点
        • 如果有极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点
      • 求出各极值点的函数值，就得函数f(x)的全部极值
    • 定理3
      • 第二充分条件
      • 设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f'(x0)=0，f''(x0)≠0,则
        • 当f''(x0)＜0时，函数f(x)在x0处取得极大值
        • 当f''(x0)＞0时，函数f(x)在x0处取得极小值
      • 一阶导的值为零，二阶导小于零，一阶导减，则一阶导先正后负，即原函数先增后减，取极大值
      • 一阶导的值为零，二阶导大于零，一阶导增，则一阶导先负后正，即原函数先减后增，取极小值
  • 最大值与最小值问题
    • 求最大值和最小值方法
      • 求出f(x)在(a,b)内的驻点和不可导点
      • 计算f(x)在上述驻点、不可导点处的函数值及f(a),f(b)
      • 比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是f(x)在[a,b]上的最大值，最小的便是f(x）在[a,b]上的最小值
    • 特殊情形
      • f(x)在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导且只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数的极值点，那么
        • 当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值
        • 当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值
    • 折射定律
    • 矩形梁的抗弯截面模量
• 函数图形的描绘
  • 利用导数描绘函数图形的一般步骤
    • 确定函数y=f(x)的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函数的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)
    • 求出一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)在函数定义域内的全部零点，并求出函数f(x)的间断点及f'(x)和f''(x)不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间
    • 确定在这些部分区间内f'(x)和f''(x)的符号，并由此确定函数图形的升降、凹凸和拐点
    • 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势
    • 算出f'(x)和f''(x)的零点及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点
      • 为了把图形描绘的准确些，有时还需要补充一些点，然后结合第三、四步中得到的结果，联结这些点画出函数y=f(x)的图形
• 曲率
  • 弧微分
    • 弧微分公式
  • 曲率计算及其计算公式
    • 用数量来描述曲线的弯曲程度
      • 与切线转过的角度和弧段的长度有关
    • 光滑曲线
      • 当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的移动而连续移动，这样的曲线称为光滑曲线
    • 平均曲率
      • 用比值，即单位弧段上切线转过的角度大小来表达弧段的平均弯曲程度
        • 这个比值就叫做弧段的平均曲率
        • 记作
    • 曲率
      • 直线上任意点M处的曲率都等于零
    • 圆上各点处的曲率
      • r为圆的半径，则圆上各点的曲率为
      • 圆的曲率到处一样，且半径越小，曲率越大
    • 曲率表达式
      • 设
        • 则
      • 当
  • 曲率圆与曲率半径
    • 曲率圆
      • 设曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为K(K≠0)
        • 在点M处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点D，使|DM|=1/K=r
        • 以D为圆心，r为半径作圆，这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆
      • 曲率中心
        • 曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心
      • 曲率半径
        • 曲率圆的半径r叫做曲线在点M处的曲率半径
    • 曲率与曲线半径的关系
      • 曲线在点M处的曲率K(K≠0)与曲线在点M处的曲率半径r有如下关系
  • 曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线
    • 设已知曲线方程是y=f(x)，且其二阶导数y''在点x不为零，则曲线在对应点M(x,y)的曲率中心D(α，β)的坐标为
    • 渐屈线
      • 当点(x,f(x))沿曲线C移动时，相应的曲率中心D的轨迹曲线G称为曲线C的渐屈线
      • 曲线y=f(x)的渐屈线的参数方程为
        • x为参数
    • 渐伸线
      • 而曲线C称为曲线G的渐伸线
• 方程的近似解
  • 求方程的近似解的步骤
    • 第一步 根的隔离
      • 确定一个区间[a,b]，使所求的根是位于这个区间的唯一实根
        • 区间[a,b]称为所求实根的隔离区间
    • 第二步 求近似解
      • 以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度
  • 二分法
    • 设f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)·f(b)＜0，且方程f(x)=0在(a,b)内仅有一个实根ξ，于是[a,b]即是这个根的一个隔离区间
    • 取区间内的一点计算该点的函数值，若干函数值为零，那么该点即为实根，如果函数值不为零，则判断该点函数值与端点处函数值的符号，选择函数值异号的一组点（区间的一个端点和上一次选取的区间内的点）作为下一组区间，
  • 切线法
    • 设f(a)在[a,b]上具有二阶导数，f(a)·f(b)＜0且f'(x)及f''(x)在[a,b]上保持定号
    • 考虑用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法
  • 割线法
    • 将割线与x轴的交点的横坐标作为新的近似值
      • 这个方法叫割线法或弦截法