导图社区 微分中值定理、导数的应用做题笔记
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这是一篇关于高等数学的思维导图。该思维导图归纳整理了关于这一部分的知识点,包括 二重极限、重积分 、曲线积分、曲面积分等。
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微分中值定理、导数的应用
微分中值定理
方法
画图
把所要考虑的结论和条件通过画图画出来,通过画图分析
基本上每次中值定理的题都要构造函数
构造函数
原函数为差
构造
构造函数为商
原函数为和
构造函数为乘
原函数为
构造函数为
双中值
需要使用两次中值定理
可使用的中值定理【具体使用哪个根据条件判断】
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
其他
证明原函数等于零
用零点定理
证明二阶导函数等于零
用一阶导函数的罗尔定理
扩展
中值定理类型及证明
适用闭区间
介值定理
概念
例题
连续函数最大最小值的介值定理
推论
零点定理
step1:构造函数
step2:看有没有异号的点
主要看端点,端点不行才在区间内找点
区间内找点需要看能不能凑出题中给出的条件
闭区间的微分中值定理
公式
证明
寒假作业 P59 [7](1)
使用开区间和导数
罗尔定理
寒假作业 P58 定理结论证明 [4]
定积分类型
不是只有端点才能用罗尔定理
反证法
一阶导函数的罗尔定理
拉格朗日定理
分析过程
正向看看不出来,可以通过结论,积分反向推出需要构造的F(x),再用罗尔定理
寒假作业 P58 [5]
日期
6-25做
错
如果出现同一函数在两点函数值差的时候,常用拉格朗日中值
注意
如
开区间的微分中值定理(积分中值定理)
寒假作业 P59 [7](2)
用于去掉不想要的积分符号
一般条件给的积分没法求时,即可使用
寒假作业 P58 [6]
洛必达法则
一元函数绝对值不可导
通常需要分正负讨论
二元函数绝对值也不可导
泰勒公式
来源
泰勒级数
内在联系
适用于
将一系列式子收缩成一个函数
高阶导求值
高阶导不等式(拉格朗日余项)
含参数极限(佩亚诺)
将函数展开
分子幂未知,分母展开成几项,则只要式子相减不等于0即可
分母为含有未知数的幂元素,洛必达只能求出一个未知数的情况
不同阶数泰勒公式相乘
函数的单调性、极值和最值
根据抽象函数(一般函数)求导数及其极大极小值
推出
=0
=a
反正就是需要求一阶导,二阶导这样来看
极限的保号性
定义
指满足一定条件(例如极限存在或连续)的函数在局部范围内函数值的符号保持恒正或恒负的性质
使用条件
给了一个极限又非零:更多用一个性质:极限的保号性
没办法用0/0型得出的值来利用(拐点/极值点)充分条件来判断情况
排除法(选择题)
何时用
一般函数:即只告诉连续和可导或有定义,未给具体表达式
怎么用
具体函数(特殊函数)法:举一个符合题目条件的具体函数
几何法
适用于几何意义非常明显的
极值点
极值存在的充分条件
第一充分条件
第二充分条件
拐点
拐点存在的充分条件
驻点
可能的极值
曲线的凹凸性与拐点
可能的拐点
y''异号即为驻点
某点为原函数无定义的点,而不是二阶导无定义的点,则不能使用该点
二阶与一阶导函数的方程
step1
代值,算出"点"对应的一阶或二阶导数
武忠祥每日一题 1-7
step2
若一阶或二阶得不出结论,则根据方程是否可导,求三阶
武忠祥每日一题 68
函数图像
根据图像判断极值点和驻点
一阶导函数图像
判断极值点
函数为0的点,且两边异号
判断驻点
与x轴平行的点,且两边增减性异号
作图
step1:找定义域
step2:求一阶导找增减区间和极值
step3:求二阶导找凹凸区间和拐点
step4:求渐近线
step5:综合上述信息准确画出
方程根的问题
存在性【f(x)=0】
有且仅有一个实根
零点定理+单调性
带未知参数的
即方程除了有x,y(已知参数)还有k,m,n(未知参数)等
把未知参数和已知参数分开,各写一边,然后求出已知参数构成的图像
证不等式
单调性
一般求导,一阶不行,二阶;二阶不行,三阶;....
对等式两边进行变形
常用结论
求最小最大值
区间所有值大于(小于)一个常数
不单调
函数图像的渐近线
直接算
类型
水平渐近线
图像
垂直渐近线
斜渐近线
a和b同时存在,才叫斜渐近
水平渐近线和斜渐近线不能同时存在
构造/变换函数
把f(x)变成一个ax+b的函数,其他部分趋于0