导图社区 多元积分学及其应用思维导图
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多元积分学及其应用
三重积分
定义
计算
利用直角坐标
先一后二【先单后重】
拓展
先二后一【先重后单】
体积微元
利用柱面坐标计算
ρ为常数
圆柱面
θ为常数
半平面
z为常数
平面
柱坐标与直角坐标的关系
底面积(极坐标)x高
利用球面坐标计算
r为常数
球面
φ为常数
圆锥面
球坐标与直角坐标的关系为
近似看成长方体:长x宽x高
对称性
W关于xOy面对称【上下对称】
类似
轮换对称性
若x,y互换后【W中的x和y】,W区域不变
若x®y,y®z,z®x【【W中的x、y和z】,区域W不变
例题
李永乐复习全书基础版 135 例2 法二
李永乐复习全书基础版 136 例3 法一
做题方法
选择适宜坐标系和累次积分顺序
积分域的形状
分块少,表达简便
边界
直角坐标面
直角坐标
柱坐标面
柱坐标
球坐标面
球坐标
被积函数的形式
利用对称性、轮换对称性等等化简计算
曲线积分
第一类线积分
对弧长的线积分
f(x,y)在光滑曲线段L上对弧长的曲线积分
在分段光滑的曲线段上的积分=各光滑曲线段.上的积分之和
存在条件
必要条件、充分条件
同重积分、 定积分
性质
其他与定积分相同
与积分路径方向无关
基本方法(直接法) [参数法]
找到 L的单参数方程,将曲线积分化为对该参数的定积分
设L为xOy面上的平面光滑曲线段
ds
设L为空间光滑曲线段
主义
对弧长的曲线积分化为定积分后,恒有上限>下限
若积分曲线L关于y轴对称
若积分曲线L关于x轴对称
若L关于x,y具有轮换对称性
即x,y互换后,L不变
L关于y=x对称
做题步骤
首先考虑代入化简
然后考虑对称性
再用公式
李永乐复习全书基础版 139 例2
第二类曲线积分
对坐标的曲线积分
与积分路径方向有关
基本方法(直接法或参数法)
格林公式
设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y) ,Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有
其中L为D取正向的边界曲线.
如何取正向
曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在左边
用法
直接用
补曲线
挖去奇点用格林公式
利用积分与路径无关
前提 【四条等价】
某个函数的全微分
即有原函数
改换路径计算
利用原函数计算
求原函数的方法
偏积分
凑微分
空间 【了解】
直接法
设分段光滑的曲线L由参数方程x = x(t),y= y(t),z= z(t),t∈[a,β]给出,其起点 和终点分别对应参数t=a和t=β, P,Q,R在L上连续,则
斯托克斯公式
降维法
将空间线积分化为平面线积分用格林公式
两类线积分的联系
L正方向上的单位切向量
多元积分应用
一览表
变力做功
通量
向量场
环流量
场论初步
方向导数
定理
梯度
散度
旋度
曲面积分
第一类面积分
对面积的面积分
与积分曲面的方向无关
类似的
若曲面由方程x=x(y,z)或y=y(z,x)给出,也可类似地把对面积的面积分化为相应的二重积分
步骤
一投
投影到对应面
Dxy
二代
z=z(x,y)
三换
换dS为dxdy的东西
关于xOy面对称
李永乐复习全书基础版 143 例1
若x,y互换后【å中的x和y】,曲面S不变
李永乐复习全书基础版 144 例6
若x®y,y®z,z®x【å中的x和y】,曲面S不变
第二类曲面积分
对坐标的曲面积分
概念
双侧曲面
如
函数曲面z= z(x,)、 y=y(,x)、x=x(v,z)
双侧曲面的一侧
称为有向曲面
有向曲面的投影
第二类曲面积分存在的充分条件
连续
与积分曲面的方向有关
直接法 (投影法)
图像
注意
上侧+下侧-
前侧+后侧-
右侧+左侧-
高斯公式
封闭区域内测要加负号
补曲面用
挖去奇点用高斯公式
两类面积分的联系