导图社区 相似矩阵及二次型做题笔记
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相似矩阵及二次型
向量的内积、长度及正交性
相关概念
向量的内积
向量
一般都指列向量
向量x与y的内积
向量的长度
单位列向量
n维向量正交及正交向量组
正交
若n维实向量x、y满足(x,y)=0,则称x、y正交
正交矩阵
定义
定理
方阵的特征值和特征向量
Ax = λx
解释
A
特征方阵
x
特征向量
x是n维非0列向量
λ
特征值
特征多项式
f(λ) = |A - λE|
特征方程【特征多项式等于0】
|A - λE| = 0
=>
|A - λE|x = 0
A - λE
特征矩阵
推论
过程
如
求特征值、特征向量的方法
前提
因为x是n维非0列向量,所以x是齐次方程组的非0解
(1)
因为x是齐次方程组的非0解,所以|λE-A| = 0
特征多项式的求法
大多数都是加加减减能凑一行或一列尽量多的0,然后用行列展示式
证明特征值
特征值与特征向量的重要结论
证明
易混
不同特征值特征向量,加(减)不再是A的特征向量
迹
例题
二次型经过正交变换后不会改变矩阵的迹
行列式
零矩阵由n重特征值0,单位矩阵有n重特征值1,数量矩阵kE有n重特征值k
矩阵的秩等于非零特征值的个数
不同特征值的特征向量线性无关
矩阵没有进行行或列变化,则特征值顺序不会改变
相似矩阵与矩阵对角化
相似
A~B
性质
相似的判断
相似必合同,合同不一定相似
推出[部分不能反推]
结论
迹相等
行列式相同
|A+kE|=|B+kE|
特征值相同
问相似的问题
不要用定义,用特征值来判断
特征值相同,则相似
遇到问相似和合同时,先算相似
特征多项式相同
秩相同
r(A)=r(B) r(A+kE)=r(B+kE)
注意
不是特征方程
不能得到特征向量相同这个结论
一般矩阵相似与合同没有任何关系
矩阵的相似对角化
判断能不能对角化 【定理的详细解释】
相似对角化的条件
A的特征值的特征向量必须线性无关
方法
step1
先算出f(λ)的特征值λ
用特征方程算
step2
再根据λ的个数以及是否有重根
λ不同值的个数与A的维数n相等
相似对角化
λ有n重根
n重根必须要有n个线性无关的特征向量 【也即对应(A - λE)x=0齐次方程有n个基础解系的向量】
也即n-r(A - λE) = c
c即为基础解系的向量个数
λ既有重根又有不同值
只研究n重根
A必须为实对称矩阵
对角矩阵求法
求
P
通过(A - λE)x=0算出的基础解系
Λ
实对称矩阵
实对称矩阵必可相似对角化
实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交
“实对称矩阵用正交矩阵相似对角化"解题步骤
李永乐 基础 上课题 15 (2)
求特征值的方法
设值带入方程求解
定义约束变量和自由变量
特征值与秩的关系
求对称矩阵A
法一[推荐使用]
法二
二次型
二次型及其矩阵表示
二次型可化为
基础 线性代数测试 14(1)
日期
8.5
错
二次型的矩阵
二次型化为标准形、规范形并求所用正交变换
概念
标准型
代数练习课第2-3讲 26 step1
8.11做
规范形
步骤
先写出二次型矩阵
写法详见线基 p70
基础 线性代数测试 13
step3
求正交变换的矩阵
step3-1
step3-2
要求特征向量两两正交
如果不是两两正交:需要使用施密特正交化
step3-3
单位化
要求标准型,就要想到特征值
要求正交变换,就要想到特征向量
二次型的秩
惯性定理
正负惯性指数
二次型规范型中特征值的正负号
求惯性指数方法
求二次型的步骤
几何意义
实二次型的主轴
二次型代表二次超曲面
双曲线标准方程
非标准方程含交叉项,需进行旋转,使其主轴与坐标轴重合
坐标变换
矩阵合同
不要用定义判断,用惯性指数来判断
正负惯性指数分别的个数相同,则合同
正定二次型
可逆线性变换不改变二次型的正定性.
f正定的充要条件