向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用

这是一篇关于向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用的做题笔记。该思维导图对这一部分知识点的讲解非常到位。

向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用

• 向量代数
  • 空间直角坐标系
    • 三个坐标轴的正方向符合右手系
      • • 八个卦限
  • 空间两点间的距离
    • 特殊的
  • 向量的概念
    • 向量的模
      • 向量的大小
    • 单位向量
      • 模长为1的向量
      • • 表示与非零向量a同方向的单位向量
    • 零向量
      • 模长为0的向量
  • 向量的运算
    • 数量积
      • 几何表示
      • 代数表示
      • 运算规律
        • 交换律
        • 分配律
      • 几何应用
        • 求模
        • 求夹角
        • 判定两向量垂直
    • 向量积
      • 几何表示
      • 模
      • 方向
        • 右手法则
      • 代数表示
        • 印刷体
      • 运算规律
        • 分配律
      • 几何应用
        • 求同时垂直于a和b的向量
          • 印刷体
        • 求以a和b为邻边的平行四边形面积
        • 判定两向量平行
    • 混合积
      • 几何表示
      • 代数表示
      • 运算规律
        • 轮换对称
        • 交换变号
      • 几何应用
        • 求平行六面体的体积
        • 三个向量共面的充要条件
• 空间平面与直线
  • 平面的方程
    • 平面的一般方程
      • Ax+By+Cz+D=0
      • 法向量
        • 垂直于平面
    • 平面的点法式方程
    • 平面的截距式方程
    • 两个平面的位置关系
      • • 两平面夹角余弦公式
        • 两平面位置特征
          • • 点乘
              • 结果为一个数
          • • 叉乘
              • 结果为一个向量
            • 例题
              • 曲面与平面
                • 李永乐复习全书基础版 133 例3
    • 平面一般方程的几种特殊情况
      • D=0
        • 平面通过坐标原点
      • A=0
        • D=0
          • 平面通过x轴
        • D≠0
          • 平面平行于x轴
        • 推论
          • 类似地可讨论B =0, C = 0情形
      • A=B=0
        • 平面平行于xoy坐标面
        • 推论
          • 类似地可讨论A=C=0, B=C=0情形
  • 直线的方程
    • 直线的一般方程
      • • 与代数表示的联系
    • 直线的对称式方程
      • • 直线过点
      • 方向向量
        • 知道两点，求方向向量
    • 直线的参数式方程
      • • 与方向向量联系
    • 两条直线的位置关系
      • • 两直线夹角余弦公式
        • 两直线位置特征
    • 直线与平面的位置关系
      • • 直线与平面的夹角公式
        • 直线与平面的位置特征
          • • 直线与平面垂直，则直线的方向向量就是平面的法向量
          • • 同类型
              • 过L1,平行于L2
                • 说明平面法向量垂直于L1和L2
              • 过L，垂直于P
    • 两个距离
      • 点到平面的距离
      • 点到直线的距离
• 曲面与空间曲线
  • 曲面积分
    • 一般式
  • 空间曲线
    • 空间曲线C可看作空间两曲面的交线
      • 一般式
      • 参数式
  • 常见曲面
    • 旋转面
      • 一条平面曲线绕平面上一条直线旋转
      • • L绕y轴旋转所得旋转面方程
        • L绕z轴旋转所得旋转面方程
          • 原因
    • 柱面
      • 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面
        • 定曲线C
          • 柱面的准线
        • 动直线L
          • 柱面的母线
      • 只含x,v而缺z的方程F(x,y)= 0,在空间直角坐标系中展示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C
        • 推广
    • 二次曲面
      • 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面
        • 相应地平面被称为一次曲面
      • 圆柱面
        • • 1
            • 与xoy面的交线为圆
            • 与平面z=c的交线为中心在z轴上的圆
          • 2
            • 与xoz、yoz面的交线为两平行直线
            • 与平面y=c、x=c(\c< R的交线两平行直线
      • 椭球面
        • • 椭球面与三个坐标面的交线
          • a= b=c
            • 球面
      • 椭圆锥面
        • • a=b
            • 圆锥面
            • 特别地
              • • 夹角正好(p/4)
      • 椭圆抛物面
        • • a=b
            • 旋转抛物面
            • 特别地
      • 单叶双曲面
      • 双叶双曲面
      • 双曲抛物面(马鞍面)
    • 空间曲线的投影
      • 类似地
        • 可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
      • 例题
        • 没法消去的时候，F和G哪个投影小，用哪个
• 多元微分学在几何上的应用
  • 曲面的切平面与法线
    • • 切平面方程
      • 法线方程
      • 曲线的法向量方向判定
        • 外法线指向曲面外侧，内法线指向内侧。所以考虑切点P处的法线，可以在曲面内侧取一点Q，那么，如果法线方向和向量PQ的夹角大于90°，可以判定其为外法线，反之为内法线。当然，也可以取曲面区域外侧的点进行判断，道理一样
    • 特别的
      • • 切平面方程
        • 法线方程
  • 空间曲线的切线与法平面
    • 参数式
      • 切线方程
      • 法平面方程
    • 一般式
      • • 切向量
          • 理解成
      • 切线方程
      • 法平面方程
    • 注意
      • 不是法向量，是切向量