微分

微分是函数改变量的线性主要部分，微分是微积分的基本概念之一。此篇详细的总结了微分的知识考点，对考高数的小伙伴非常有帮助！

微分

• 2.5 函数的微分及其应用
  • 微分的定义 P149
    • dy=f'(x)dx
    • 定义 线性部分为函数的微分
      • △y 精确值
      • dy 近似值
    • 定理1
    • 几何意义
      • 局部线性化
    • 定理2 可微的充要条件是可导
  • 应用
    • 利用微分公式
      • 求解
        • 1.求函数导数 f'(x)
        • 2.写出微分 dy=f'(x)dx
    • 利用微分运算法则
    • 近似计算
      • 一般用△x，而不用dx
      • △y=f(x₀+△x)-f(x₀)≈f'(x)△x
• 3.1微分中值定理
  • 费马引理
    • 设函数f(x)在x₀某领域内有定义，且f(x)<=(>=)f(x₀)，f(x)在x₀处可导，则f'(x₀)=0
  • 罗尔定理
    • [a,b]连续
    • (a,b)可导
    • f(a)=f(b)
    • f'(ξ)=0
  • 拉格朗日中值定理
    • [a,b]连续
    • (a,b)可导
    • f'(ξ)=f(b)-f(a)/b-a
    • 推论1：若函数f(x)在区间I上的导数恒为0，则f(x)在I上是一个常数
    • 推论2：若两个可导的函数f(x)，g(x)在区间I上，恒有f'(x)=g'(x)，则在I上f(x)与g(x)只相差一个常数
  • 柯西中值定理
    • [a,b]连续
    • (a,b)可导
    • ∀x∈(a,b)，F'(x)不等于0
    • 至少有一点ξ f(b)-f(a)/F(a)-F(b)=f'(ξ)/F'(ξ)
• 3.2洛必达法则
  • 定理
    • 1）0/0型
    • 2）无穷/无穷型
    • 3）其他未定式
      • 转化为基本型
        • 通分
        • 有理化
        • 提取
        • e抬起
        • 取对数
  • 条件
• 3.3 泰勒公式
  • 基本公式
    • 拉格朗日型余项
    • 佩亚诺型余项
  • 五个常用的麦克老林展开式
• 3.4 单调性与极值
  • 单调性
    • 判别
    • 应用
  • 极值
    • 判别
    • 必要条件
      • 极值可能出现的点
        • 驻点
        • 不可导的点（函数有定义）
    • 充分条件
      • 极值判别法一
        • 可用于判断不可导的点是否为极值点
      • 极值判别法二
        • f'(ξ)=0、f''(ξ)存在
  • 最值
    • 判别
      • 极值点
        • 驻点
        • 不可导的点
      • 端点（开区间用单侧极限）
    • 应用
• 3.5 曲线的凹凸性与拐点
  • 凹凸性
    • 定义1
    • 定义2
    • 判别
    • 应用
  • 拐点
• 3.6 函数图形的描绘
  • 曲线的渐近线
    • k
    • b
  • 利用导数作函数的图形
• 3.7 曲率
  • 弧微分
  • 曲率及其计算公式
  • 曲率圆与曲率半径
• 结论成立的充分非必要条件
• 微商 f'(x)