不定积分

这是一篇关于不定积分的思维导图，知识点有不定积分的概念与性质、分项积分法、换元积分法、分部积分法等方面。

不定积分

• 概念与性质
  • 原函数
    • 定义
      • 设F(x)、f(x)定义在区间I上，若任意x属于I,有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数。
    • 定理
      • 原函数存在的唯一性：连续函数必存在原函数
  • 不定积分
    • 定义
      • 微分与积分的互逆性
    • 几何意义
    • 基本积分公式
    • 基本性质【线性性】
      • ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
      • ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx,k≠0
• 分项积分法【直接积分】
• 换元积分法
  • 复合函数的链式法则
    • 第一换元法【凑微分】
      • ∫g(x)dx--恒等变形--∫f[φ(x)]φ'(x)dx--凑微分--∫f[φ(x)]dφ(x)--换元u=φ(x)--∫f(u)du--积分--F(u)--回代--F[φ(x)]+C
    • 第二换元法
      • ∫g(x)dx----∫f[φ(t)]φ'(t)dt----F(t)+C--回代
      • 三角代换
      • 倒代换【简化分母】
      • 无理根式代换
• 分部积分法
  • (uv)′=u′v+uv′=uv′=(uv)′−u′v
    • ∫udv=uv-∫vdu
  • u函数的优选次序：反对幂指三
  • 解题
    • 递推公式
    • 抽象函数形式
    • 多次使用分部积分：注意系数、符号、递推式
• 有理函数的不定积分
  • 简单有理函数的积分
    • 待定系数法分解简单部分分式
      • 有理分式可以分解为简单部分分式之和
        • 步骤
          • 1）因式分解
          • 2）待定形式
  • 三角有理函数的积分
  • 简单无理函数的积分
    • 无理根式代换
• 某些函数的原函数不能用初等函数表示
• 通法未必最好