电磁场

电磁场矢量分析，详尽的整理了矢量代数，三种常用的正交坐标，标量场的梯度，矢量场的通量与散度，矢量场的环流与旋度知识梳理。

第一章 矢量分析

• 1.1 矢量代数
  • • 1.标量：一个只用大小描述的物理量; 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。
    • 2.矢量的加减符合交换律和结合律
    • 3.标量乘矢量
    • 4.矢量的点积
    • 5.矢量的叉积
    • 6.矢量的混合运算
• 1.2 三种常用的正交坐标
  • 1.直角坐标系
    • 右手螺旋法则（矢积或叉积）：
    • 任意矢量A在直角坐标系中可表示为：
    • 矢量A和B的加法：
    • 矢量A和B的点积：
    • 矢量A和B的叉积：
  • 2.圆柱坐标系
    • 圆柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系为：
    • 右手螺旋法则（矢积或叉积）：
    • 矢量A和B的加法：
    • 矢量A和B的点积：
    • 矢量A和B的叉积：
  • 3.球坐标系
    • 球坐标系与直角坐标系之间变换关系为：
    • 球坐标系与球坐标系之间变换关系为：
    • 右手螺旋法则：
    • 矢量A和B的点积：
    • 矢量A和B的叉积：
• 1.3 标量场的梯度
  • 1.3.1 标量场的等值面
    • 概念: 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。
    • 意义: 形象且直观地描述物理量在空间的分布状态。
    • 方程：直角坐标系中，
    • 特点：(a) 常数C取一系列不同的值，就得到一系 列不同的等值面，形成等值面族； (b) 标量场的 等值面族充满场所在的整个空间；(c) 一个点只 能在一个等值面上，标量场的等值面互不相交。
  • 1.3.2 方向导数（概念）
    • 概念：用于描述标量场在空间某个方向上变化规律。
    • 直角坐标系中方向导数的计算公式为
  • 1.3.3 梯度
    • 概念：标量场u在点M处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量u变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，表达式为
    • 标量场u的梯度可用
    • 上式表明：标量场u的梯度可认为是算符作用于标量函数的一种运算。
    • 直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中梯度表达式分别为
  • 例题
• 总结
• 1.8 亥姆霍兹定理
  • 矢量场可以用一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和来表示。即
• 1.7拉普拉斯运算与格林定理
  • 拉普拉斯运算
  • 格林定理
    • 格林第一定律
    • 格林第二定律
• 1.6 无旋场和无散场
  • 无旋场
    • 标量场的梯度有个重要性质，就是它的旋度恒等于0
  • 无散场
  • 无旋、无散场
• 1.5 矢量场的环流与旋度
  • 环流
    • 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。
    • 磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲 面的电流成正比。
    • 矢量场 沿场中一条闭合路径C的曲线积分表达式如下，将其称为矢量场 沿闭合路径C的环流。
    • 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称其为无旋场，又称保守场。
    • 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称其为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。例如：电流是磁场的旋涡源。
  • 旋度
    • 直角坐标系下的表达式为
    • 圆柱坐标系下的表达式为
    • 球坐标系下的表达式为
  • 斯托克斯定理
    • 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即
• 1.4 矢量场的通量与散度
  • 矢量场：所研究的物理量是一个矢量，并且由该物理量所确定的场。例如： 力场、速度场、电场、磁场等；
  • 矢量场的矢量线
    • 除直接用矢量的数值和方向来表示矢量场外，还用矢量线描述矢量场的分布状况。矢量线上每一点的切线方向代表该点的矢量场方向。
    • 微分方程组：
  • 通量
    • 概念：在场区域的某点选取面元，穿过该面元的矢量线总数称为矢量场对于面积元的通量。
    • 矢量场对于曲面S的通量为其上所有小面积通量的叠加：
  • 散度
    • 概念：考虑空间任意点（包含该点在内的小体积元）单位体积闭合曲面 矢量场发散和汇聚力线强度，利用极限方法得到矢量场的散度。
    • 据散度的定义，散度在直角坐标系中的表达式为
    • 散度在圆柱坐标系、球坐标系中的表达式分别为
    • 散度的定义可知：矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即