微分方程

微分方程知识总结，主要是考研高等数学的微分方程部分常见形式与解题思路、常考点等内容，它将最优秀的方法奉献给了大家。

微分方程

• 基本概念
  • 微分方程的阶数
  • 微分方程的解
    • 特解
    • 通解
      • 是函数
• 微分方程种类
  • 一阶微分方程
    • 定义
    • 解法
      • 1.分离变量
      • 2.两边积分
  • 齐次微分方程
    • 定义
      • x与y次数
    • 解法==换元法
      • 令u=y/x，则dy/dx=u+(du/dx)*x
  • 一阶齐次线性微分方程
    • 定义
      • x与y不同次数，往往x的次数大于y
    • 解法
      • 通解公式
  • 一阶非齐次线性微分方程
    • 定义
    • 解法
      • 通解
  • 伯努利方程
    • 定义
    • 解法
      • 1.化为一阶非齐次线性微分方程的形式
      • 2.令z=y^(1-n)，代入原式
      • 3.通解公式
  • 全微分方程
  • 可降阶的高阶微分方程
    • 1.y^(n)=F(x)
      • 积分即可
    • 2.缺y型
      • 解法=换元
        • 令y'=p,y''=dp/dx
      • 常见套路
        • 1.x与y对调
        • 2.对变量进行换元
    • 3.缺x型
      • 解法=换元
        • 令y'=p,y''=p*(dp/dy)
  • 高阶微分方程
    • 基本概念
      • 齐次
      • 非齐次
        • 非齐次可拆分为两个子非齐
    • 解的结构与性质
      • 1.齐次解的线性组合仍为齐次
      • 2.齐解+非齐解=非齐
      • 3.非齐解—非齐解=齐次解
      • 4.子非齐+子非齐=原非齐
      • 5.非齐次解的线性组合仍为非齐解的充分必要条件是（k1+k2+k3……=1）
      • 6.非齐次解的线性组合为齐次解的充分必要条件是（k1+k2+k3……=0）
      • 7.齐次的线性无关解线性组合仍为齐次的解
      • 8.齐次的线性无关解线性组合+非齐的特解=非齐通解
    • 二阶常系数齐次线性微分方程的解法
      • 特征方程
        • =0
        • >0
        • <0
    • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
      • 设特解
  • 欧拉方程
    • 定义
    • 解法=换元法
      • 1.令x=e^t，带入原式
      • 2.二阶齐次微分方程的解法