一元函数微分学

一元函数微分学及其应用知识总结，包括导数的定义、几何意义，求导的基本法则、微分中值定理及其应用、泰勒定理及其应用、函数性态的研究等。

一元函数微分学

• • 概念
    • 导数-左导数-右导数
      • 某一点的导数仅仅只能反应这一点 的性质，不能反应和决定领域内的性质
      • 高阶导数的表示
    • 微分（dy）趋势增量
    • 增量（Δy） 真实增量
    • 注意两者区别
  • 计算
    • 基本求导公式（七类）
    • 复合函数求导
    • 隐函数求导
    • 反函数求导
      • 关于X=Y对称点的相应点导数互为倒数
    • 分段函数求导【分段点用定义；连续点用公式】
    • 多项乘除-开方-乘方【对数求导】
    • 幂指函数求导
    • 参数方程求导
    • 高阶导数
      • 归纳法
      • 莱布尼兹公式
      • 麦克劳林展开【0处展开】
  • 应用【几何】
  • 应用【中值定理、 微分等式与不等式】
    • 中值定理
      • 各个定理【 [a，b ]上连续前提】
        • 有界与最值定理：闭区间连续函数有最值
        • 介值定理
          • 一般用于证明:某一点的函数值等于某一个数…考察这个数是否在某一个区间（可能需要截取）的值域范围内
        • 基础定理
        • 平均值定理
        • 零点定理【开区间内】
          • 证明函数值相等…转化为证明辅助函数零点存在
        • 费马定理
          • 前提：在某一点可导，取得极值
          • 结论：该点导数=0
        • 罗尔定理
          • 前提：闭区间连续，开区间可导，端点值相等
          • 结论：开区间内存在导数=0的点
        • 拉格中值
          • 前提：闭区间连续，开区间可导
          • 结论：开区间内存在一点其导数为平均导数
        • 柯西中值
          • 前提：两个函数，闭区间连续，开区间可导，分母导数≠0
          • 结论：开区间内存在一点，使得两函数端点值跨度的比值，等于该点对应导数值的比值
            • 出现一些明显不相干【不统一在一个函数形式下】的形式时，可能要考虑柯西中值定理
        • 泰勒公式
          • 带拉格朗日余项
          • 带佩亚诺余项
          • 出现二阶导数的时候不一定都需要用泰勒公式，也可能是其他中值定理的多次使用
        • 积分中值
          • 前提：闭区间连续，闭区间积分
          • 结论：存在闭区间【开区间】内的一点，该积分=该点函数值×区间跨度
      • 解题步骤
        • 确定区间
        • 确定辅助函数
        • 确定需要使用的定理
    • 微分等式问题
      • 方程的根和函数的零点
    • 微分不等式问题
      • 用单调性
      • 用最值
      • 用凹凸性
      • 用拉格朗日
      • 用柯西中值
      • 用泰勒公式
  • 应用【物理】
• 存在两个函数，优先思考柯西中值定理；其次考虑构造辅助函数，用其他中值定理！
• 同一函数的双中值问题，可能会出现混用中值定理的情况！【拉格朗日+柯西】