概率论基础

这是一篇关于概率论基础的思维导图，欢迎参考。

概率论基础

• 3.1 随机事件和样本空间
  • 随机现象：在相同条件下进行试验或观察，每次结果不尽相同的现象称为随机现象
  • 随机试验（random experiment）：对随机现象获得一个观测或进行一次测量的过程称为随机试验
  • 基本事件（basic event）：试验的每一个基本结果，是不能再分解为更简单结果的事件
  • 样本空间：所有基本事件的集合构成试验的样本空间。在样本空间中，在一定条件下必然发生的事件-必然事件（certain event）；在一定条件下肯定不发生的事件-不可能事件（impossible event）；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件-随机事件（random event）
  • 复合事件（compound event）：由若干个基本事件共同组成的事件称为复合事件
• 3.2 事件间的关系
  • 事件的和：A和B中至少有一个发生
  • 事件的交：A和B同时发生
  • 事件的差：A发生且B不发生
  • 互不相容事件：事件A与事件B不能同时发生，则称A与B为互不相容事件/互斥事件，任意样本中空间中所有的基本事件均互不相容
  • 对立事件：特殊的互不相容事件，若事件A与事件B不能同时发生，且他们的和组成样本空间，则A与B为对立事件。事件A的对立事件也被称为事件A的逆
• 3.3 频率和概率
  • 频率（frequency）：若事件A在n次重复试验中发生了m次，则称比值m/n为事件出现的频率，用f表示
  • 概率（probability）：设在同一条件下，重复进行n次试验，随机事件出现m次，若试验次数n充分大时，频率m/n将在某一确定值（p）的附近摆动，则称p为事件A的概率。
  • 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，样本空间中所有基本事件的概率之和等于1
  • 概率是随机事件在试验结果中出现可能性大小的度量，是事物的固然属性，不依人的主观意志为转移，而且在相同情况下可以通过大量重复试验予以识别和检验
• 3.4 概率的加法公式
  • 若A，B是样本空间中两个互不相容事件，则事件和的概率等于各事件概率之和
  • 任意两个事件A和B，则有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，互不相容时，P(AB)=0
• 3.5 概率的乘法公式
  • 条件概率（conditional probability）：在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为条件概率
  • P(B|A)=P(AB)/P(A)，P(A)>0。即条件概率等于事件A和B同时发生的概率除以事件A发生的概率
  • 概率乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(B)P(A|B)，两事件交的概率等于其中一事件的概率（不等于0）乘另一事件在已知前一事件发生条件下的条件概率
  • 独立事件：如果事件B发生的概率不受事件A发生概率的影响，即P(B|A)=P(B)，则称事件A对事件B独立
  • 若事件A、B独立，则有P(AB)=P(A)P(B)
• 3.6 全概率公式与逆概率公式
  • 全概率公式（formula of totalprobability）
    • 条件
      • A1，A2，...，An互不相容，且P(Ai)>0
      • A1+A2+...+An=全集
    • B的概率可以表示为在给定Ai下B的条件概率的加权平均
  • 逆概率公式（formula of inverse probability）-贝叶斯（Bayes）公式
    • 对于n个互不相容事件A1，A2，...，An，且他们的和为必然事件，则在事件B发生的前提下Ak发生的概率为：
    • 意义：可以改变条件概率结论的方向，即在知道结果的情况下推断原因，用式子P(Ak|B)表示，称为后验概率（post probability），而P(Ak)表示各种原因出现可能性的大小，一般是过去经验的总结，称为先验概率（piror probability）