第二章 矩阵

线性代数 HIT 哈工大课程笔记，必备复习资料分享，方便大家备考时翻阅查看，提高复习效率，希望对大家备考有所帮助。

矩阵

• 必记定理
  • 矩阵的秩
    • 初等变换不改变矩阵的秩
    • 可逆阵(一系列初等变换)与其他矩阵相乘不改变它的秩
      • 
    • 分块矩阵/矩阵的秩的性质（P66）
  • 可逆矩阵
    • A可逆充要条件
      • 
      • 可逆矩阵可表示为一系列初等矩阵的积
      • 矩阵A可逆<-->|A|≠0
    • 可逆矩阵A可以只经过初等行(列)变换将A化成单位矩阵E
    • 逆矩阵求解
  • 降阶公式P65
    • 
• 特殊矩阵
  • 零矩阵、行矩阵、列矩阵
  • 方阵
    • 三角阵
      • 上三角阵
      • 下三角阵
    • 标量阵（纯量阵）
    • 单位阵En
• 运算
  • 矩阵运算
    • 线性运算
      • 加法
        • 同型矩阵对应位置的元相加
        • 交换律、结合律
          • 
      • 数与矩阵相乘
        • 矩阵中每一个元都乘常数k
        • 结合律、分配律
          • 
    • 矩阵乘法
      • 不满足交换律
        • 
      • 不满足消去律
        • AB=AC--//-->B=C AB=0，且B≠0--//-->A=0
  • 方阵的行列式
    • 行列式乘法公式|AB|=|A||B|
    • |kA|=k^(n)|A|
      • 行列式的某行(列)公因子可提出去——每次只能提一行(列)公因子，需要提n次
    • 注意
      • |A+B|不一定等于|A|+|B|
      • 若AB,BA均有意义，则|BA|=|AB|（行列式乘法公式）
  • 矩阵的转置
    • （AB)'=B'A'
    • (ABC)'=C'B'A'；一般(AB)'≠A'B'
  • 矩阵的对称
    • 对称阵
      • A’= A
    • 反对称阵
      • A’ = -A
    • 性质
      • A,B对称，则A+B对称
      • A,B对称且AB=BA,则AB对称
• 逆矩阵
  • 定义
    • 若存在矩阵B，使得AB=BA=E
  • 性质
    • 矩阵A可逆，则矩阵A转置运算和求逆运算次序可交换
      • 
    • 若A,B均为同阶可逆方阵，则AB也可逆（A乘B所得方阵可逆）
  • 逆矩阵求解
    • 利用伴随矩阵（低阶方阵的逆矩阵）
      • 
    • 初等变换法
      • 
    • 分块矩阵求逆（易错）
  • 注意
    • 可逆矩阵必方阵；逆矩阵是唯一；A,B互为逆矩阵
    • 伴随矩阵Aij的位置
      •  矩阵A中第一行元的代数余子式在伴随矩阵的第一列（而非第一行）
• 分块矩阵
  • 运算
    • 加法
      • A与B的阶数相同(大矩阵可加)且分块方法（小矩阵可加）相同
    • 数乘
      • 将k与各子块相乘
    • 乘法
      • A与B可乘且A的列的分法与B的行的分法（满足矩阵乘法）完全一致
  • 初等变换
    • 分块初等阵
      • 分块初等换法阵
        • 
      • 分块初等倍法阵
        • 
      • 分块初等消法阵
        • 
    • 行变换，P,K乘在左；列变换，P,K乘在右
    • 性质
      • 矩阵经分块阵的初等变换秩不变
• 初等变换
  • 定义
    • 换法变换、倍法变换、消法变换
  • 矩阵等价
    • A可经过有限次初等变换变成B
    • 存在可逆阵P和Q，使PAQ=B
      • 矩阵左乘一个可逆矩阵——矩阵进行一系列的初等行变换 矩阵右乘一个可逆矩阵——矩阵进行一系列的初等列变换
  • 矩阵化简
    • 行阶梯矩阵
      • 若有零行，零行位于非零行的下方
      • 非零行左起第一个非零元的列序数由上至下严格递增
      • 从上至下，从左至右化简矩阵可得
    • 行最简矩阵
      • 行阶梯矩阵
      • A的非零行的左起第一个非零元都是1 并且这些1分别是它们所在的列的唯一的非零元
      • 从下至上，从右至左化简行阶梯矩阵可得
  • 初等矩阵刻画初等变换
    • 建立初等变换前后两个矩阵的等号连接（初等矩阵+矩阵乘法）
    • 定义
      • 单位矩阵经一次初等变换所得到的方阵
      • 初等换法阵、初等倍法阵、初等消法阵
    • 性质
      • 初等矩阵都是可逆矩阵（行列式≠0）
      • 初等矩阵的逆矩阵
      • 初等矩阵的转置矩阵
        • 
      • 逆矩阵OR转置矩阵——同类型初等阵
      • 初等消法阵的转置矩阵和逆矩阵
    • 表示
      • 一次初等行变换可用初等矩阵左乘矩阵
      • 一次初等列变换可用初等矩阵右乘矩阵
    • 初等矩阵记号统一用单位矩阵经行变换所得（书P52）
      • 
  • 可逆矩阵刻画初等变换
    • 可逆矩阵可用一系列初等矩阵的积表示
• 矩阵的秩
  • 概念
    • 子矩阵、子方阵、子式（子矩阵的行列式）
  • 定义
    • r(A)= 非零子式的最高阶数
  • 定理：矩阵经初等变换（行/列）后，其秩不变
  • 求矩阵的秩
    • 初等变换法求矩阵的秩
    • 分块矩阵/矩阵的秩的性质（P66）