导图社区 考研数学高数基础02学霸笔记
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考研数学高数基础02学霸笔记
教材高数02 极限的计算与函数的连续性
王牌: 洛必达法则、等价替换、泰勒公式、化简方法
一、泰勒公式(麦克劳林公式是泰勒公式的特殊版)
1.公式推导(用多项式近似代替一般函数)
内容
一般用于证明题,计算题一般不这样考
考研最多展开到5阶
老师点拨常考形式
注意点
展开原则
上下同阶
幂次相同且不能抵消
从低阶到高阶依次写出来,没有的阶按0计算
例题说明
注意一个易错点:分子上的第二项是考虑整体幂次
原理揭示
九个常用的泰勒公式
曾经考过给一个崭新的从未见过的要求学生推导
不仅要记住更要会推导
老师点评类比巧记公式系数正负
比x大那么系数就是正数,反之为负数
反正弦(切)与正弦(切)的系数相反
引申推广
替换的部分必须趋于0
推导通法展示(九个泰勒公式皆是趋于0的情况)
二、极限计算的步骤
(1)把x趋于?代入分析(极限类型、化简方法)
记住幂、指、对变化速度对比
极限类型
第三类第二种——通分
(2)化简
根式有理化
适用于二次根式
计算非零因子
拆分极限存在项
四则运算
提公因子
等价替换
乘除法
加减法用泰勒公式
幂指函数指数化
提炼思想
幂函数——指数函数——对数函数(三者互相转化)
倒代换
(3)计算(洛必达法则,泰勒公式)
三、连续性与间断点
1.连续的概念
定义
重点辨析
连续与可导的关系
总结
可导是连续的上层建筑
即常说的“可导必连续,连续不一定可导,不可导推不出固定的结论”
导数存在不存在的问题
导数为0也是存在,但是无穷大就是不存在
2.间断点的类型
间断点的定义
间断点的类型
可去
跳跃
第一类间断点
左右极限存在
跳跃间断点左右极限存在但是极限不存在
中间的那个点在哪里无所谓,反正左右极限已经不相等了就注定不连续了
间断点里面就可去间断点极限存在
就可去间断点需要关心中间的那个点
无穷
振荡
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在
相关辨析
无穷间断点不等价于在该点无定义
经典考题
极限函数
模样
易错点
区分清楚谁在变化
n趋向于无穷一般是认为趋向于正无穷(n一般默认为自然数)
x趋向于无穷一般是认为趋向于正负无穷
四、闭区间上连续函数的性质
考研这里的证明题往往难度较大,建议放在后边学习,往往只会考一个证明题
最值定理
零点定理
零点定理(本人理解) 即对于闭区间上连续函数,两端点值异号,函数曲线必穿过x数轴
关注点皆是
闭区间上连续函数
两端点值
介值定理
介值定理(本人理解) 即对于闭区间上连续函数,介于两端点值(两值之间)的值必可找到对应的x值
经典例题