导图社区 线代行列式
还在为高等代数而苦恼吗?看这里,高等代数前三张知识点总结来啦! 一张图带你快速掌握行列式、矩阵的相关知识应用,n阶行列式、行列式按行展开、可逆矩阵、初等变换等内容这里都有。喜欢的话,就点个赞吧!本思维导图参考李永乐线代讲义,基本上涵盖了行列式所有内容,右边为主要知识点,左边为强调重点。赶快收藏学起来吧!
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民法分论
行列式
概念
不同行不同列元素乘积的代数和
行列式是一个数,矩阵是表格
排列
由1、2...n组成的有序数组称为n阶排列,常用j1j2j3..jn表示,ji是里面的某一个数
例子:2 4 1 3 --4阶排列1 3 5 4 2 --5阶排列
排列用于判断行列式展开后各项前的系数是1还是-1
逆序
在排列中,一个大的数排在一个小的数前面,就称这两个数构成一个逆序
例:2 4 1 341 43是两个逆序
逆序数
一个排列逆序的总数,称为这个排列的逆序数
例:(1 3 2) = 0+1 (2 4 3 1) = 1+2+1(3 1 5 4 2) = 2+0+2+1
逆序数根据是偶数还是奇数分为偶排列、奇排列
n阶行列式
P2
性质
性质1
经过转置,行列式的值不变
性质2
两行(列)互换位置,行列式的值变号
注意矩阵的区别矩阵初等行变换不改变不变号
性质3
某行(列)有公因子k,可以直接提取k
注意矩阵的区别矩阵 kA = [kaij]行列式 |kA| = k^n |A|
性质4
某行(列)是两个元素之和,可以把行列式拆成两个行列式之和
|A+B| !=|A|+|B|考的是E恒等变形
性质5
某行(列)的k倍加到另一行(列),行列式值不变
用最多
直接判断
某两行(列)成比例,行列式为0
某一行(列)全为0,行列式为0
行(列)展开公式
先行概念
余子式
n阶行列式中划去aij所在的i行j列,剩下的元素构成的n-1阶行列式就称为aij的余子式,记为Mij
代数余子式
(-1)^(i+j) Mij 称为aij的代数余子式,记作Aij
比余子式多个(-1)^(i+j)
定理
定理1
n阶行列式等于它的任何一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和
定理2
行列式的任一行(列)元素与另一行(列)元素的代数余子式乘积之和为0
比如第一行元素乘第二行元素的代数余子式,和为0
特殊情况配合
上(下)三角形
等于主对角线元素的乘积
a11a22a33...ann
副对角线(副上下三角)
(-1)^ n(n-1)/2 乘副对角线元素
(-1)^ n(n-1)/2 *a1n a2(n-1)...an1
拉普拉斯展开式
A,B分别为m阶和n阶矩阵
两种
A,B在主对角线上
行列式=|A||B|
A,B在副对角线上
行列式=(-1)^mn = |A||B|
范德蒙行列式
(1,xi,xi^2,xi^3...xi^(n-1))T
|A| = ∏(xi-xj) (1<=j<=i<n)
主要方法
行列展开公式
爪型处理
加边法
拆开法
克拉默法则
使用范围
n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组
系数行列式|D|!=0,方程组有唯一解
则 Xi = |Di|/|D| (i=1,2,..n)
推论
n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组
系数行列式|A|!=0的充要条件是方程组只有唯一零解
|A|!=0 (|D!=0|)xi = |Di|/|D| =0(一定为0)也就意味着r(A) = n(唯一解就是零解)
齐次线性方程组有非零解,充要条件是|A|=0
也就是r(A)<n
注
多用于证明题
计算量大,不一定是用来解方程组的
简易解方程组方法是初等行变换
代数余字式
展开公式
伴随矩阵
AA* = A*A = |A|E
Aij的值与aij的大小无关
给定很高阶的行列式,求A31+A32+A33实际上就是求1*A31+1*A32+1*A33+0*A34+0*....也就是将第3行换为 1 1 1 0 0...在做运算
矩阵的秩
矩阵A中非0子式的最高阶数
r(A)<5 A中5阶子式全为0
r(A)>=2 A有2阶子式 不为0
常识
A!=0 r(A)>=1
r(A)=n <=> |A|!=0 <=> A可逆
r(A)<n <=> |A|=0 <=>A不可逆
一般考题求秩
给定秩小于几,一定也会给秩大于几,结合在一起求秩
证明|A|=0
Ax = 0有非零解
反证法
A^-1找矛盾
r(A)<n
0是特征值
|A| = ∏λi
|A|=-|A|
应用
特征多项式
|A| = ∏λi 运用
求解特征值
含有参数a求特征值
求Xi
结合齐次/非齐,唯一解,非零解,无穷解
A*,A^-1,相关,无关,正定
行列式的计算#
高频错误
注意矩阵的区别矩阵初等行变换不变号
注意矩阵的区别,A为矩阵矩阵 kA = [kaij]行列式 |kA| = k^n |A|
重要公式
拉普拉斯展开式(P6)
A,B分别为m阶和n阶矩阵(结合书理解)
(1, xi, xi^2, xi^3...xi^(n-1))
数字型计算
技巧
每一行都加到第i行
每一行(列)都出现相反数,P9例1.3
逐行相加
目的做0 (P9例1.4)
某一行k倍加到另一行
特殊行列式
爪型
主对角线爪型
主对角线元素向最靠边一行(或列)做运算,用于消除靠边行(或列)
变成上(下)三角再运算
副对角线
副对角线元素向靠边一行(或列)做运算,用于消除靠边行(或列)
变成副上(下)三角再运算
三对角线型
方法
第i行k倍加到i+1行
目的变成上三角
每一行加到第一行
第i行k倍加到第一行
最后变成展开公式加三角
n阶考虑数学归纳法/递推法 P14
现在草稿纸上化简,根据结果再选择合适的归纳形式
第一归纳法
Fn = aFn-1 +b
第二归纳法
Fn = aFn-1 +bFn-2
抽象行列式
大概三种题型,解法
行列式恒等变形
矩阵公式、法则恒等变形,E恒等变形P15L1.12
添加E,使成为AA^-1,带入原式
特征值、相似
型
|A+B|型
行列式的恒等变形
矩阵的性质
E恒等变形
矩阵行列式
A的n阶,|AT| = |A|
A是n阶,|kA| = k^n|A|
AB都n阶,|AB| = |A||B|
A是n阶,|A*| = |A|^(n-1)
A是n阶可逆,|A^-1| = |A|^-1
A是n阶,λi 是A的特征值,|A|= ∏λi
A~B,|A| = |B|
考点#
计算
数字型(展开公式)
抽象型
行列式性质,恒等变形矩阵公式,法则,恒等变形,E恒等变形特征值,相似
反正法
其他注意点
A-mxn,B-nxs,如果AB = 0
B的列向量是Ax=0的解
r(A)+r(B)<=n