线代行列式

还在为高等代数而苦恼吗？看这里，高等代数前三张知识点总结来啦！ 一张图带你快速掌握行列式、矩阵的相关知识应用，n阶行列式、行列式按行展开、可逆矩阵、初等变换等内容这里都有。喜欢的话，就点个赞吧！本思维导图参考李永乐线代讲义，基本上涵盖了行列式所有内容，右边为主要知识点，左边为强调重点。赶快收藏学起来吧！

行列式

• 概念
  • 不同行不同列元素乘积的代数和
    • 行列式是一个数，矩阵是表格
  • 排列
    • 由1、2...n组成的有序数组称为n阶排列，常用j1j2j3..jn表示，ji是里面的某一个数
      • 例子：2 4 1 3 --4阶排列1 3 5 4 2 --5阶排列
    • 排列用于判断行列式展开后各项前的系数是1还是-1
  • 逆序
    • 在排列中，一个大的数排在一个小的数前面，就称这两个数构成一个逆序
      • 例:2 4 1 341 43是两个逆序
  • 逆序数
    • 一个排列逆序的总数，称为这个排列的逆序数
      • 例:(1 3 2) = 0+1 (2 4 3 1) = 1+2+1(3 1 5 4 2) = 2+0+2+1
    • 逆序数根据是偶数还是奇数分为偶排列、奇排列
  • n阶行列式
    • P2
• 性质
  • 性质1
    • 经过转置，行列式的值不变
  • 性质2
    • 两行(列)互换位置，行列式的值变号
      • 注意矩阵的区别矩阵初等行变换不改变不变号
  • 性质3
    • 某行(列)有公因子k，可以直接提取k
      • 注意矩阵的区别矩阵 kA = [kaij]行列式 |kA| = k^n |A|
  • 性质4
    • 某行(列)是两个元素之和，可以把行列式拆成两个行列式之和
      • |A+B| ！=|A|+|B|考的是E恒等变形
  • 性质5
    • 某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式值不变
      • 用最多
  • 直接判断
    • 某两行(列)成比例，行列式为0
    • 某一行(列)全为0，行列式为0
• 行(列)展开公式
  • 先行概念
    • 余子式
      • n阶行列式中划去aij所在的i行j列，剩下的元素构成的n-1阶行列式就称为aij的余子式，记为Mij
    • 代数余子式
      • (-1)^(i+j) Mij 称为aij的代数余子式，记作Aij
        • 比余子式多个(-1)^(i+j)
  • 定理
    • 定理1
      • n阶行列式等于它的任何一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和
    • 定理2
      • 行列式的任一行(列)元素与另一行(列)元素的代数余子式乘积之和为0
        • 比如第一行元素乘第二行元素的代数余子式，和为0
  • 特殊情况配合
    • 上(下)三角形
      • 等于主对角线元素的乘积
        • a11a22a33...ann
    • 副对角线(副上下三角)
      • (-1)^ n(n-1)/2 乘副对角线元素
        • (-1)^ n(n-1)/2 *a1n a2(n-1)...an1
    • 拉普拉斯展开式
      • A,B分别为m阶和n阶矩阵
      • 两种
        • A,B在主对角线上
          • 行列式=|A||B|
        • A,B在副对角线上
          • 行列式=(-1)^mn = |A||B|
    • 范德蒙行列式
      • (1,xi,xi^2,xi^3...xi^(n-1))T
      • |A| = ∏(xi-xj) (1<=j<=i<n)
  • 主要方法
    • 行列展开公式
    • 爪型处理
    • 加边法
    • 拆开法
• 克拉默法则
  • 使用范围
    • n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组
    • 系数行列式|D|!=0，方程组有唯一解
    • 则 Xi = |Di|/|D| (i=1,2,..n)
  • 推论
    • n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组
    • 系数行列式|A|！=0的充要条件是方程组只有唯一零解
      • |A|！=0 （|D！=0|）xi = |Di|/|D| =0(一定为0)也就意味着r(A) = n(唯一解就是零解)
    • 齐次线性方程组有非零解，充要条件是|A|=0
      • 也就是r(A)<n
  • 注
    • 多用于证明题
    • 计算量大，不一定是用来解方程组的
    • 简易解方程组方法是初等行变换
• 代数余字式
  • 展开公式
  • 定理
  • 伴随矩阵
    • AA* = A*A = |A|E
  • 注
    • Aij的值与aij的大小无关
      • 给定很高阶的行列式，求A31+A32+A33实际上就是求1*A31+1*A32+1*A33+0*A34+0*....也就是将第3行换为 1 1 1 0 0...在做运算
• 矩阵的秩
  • 概念
    • 矩阵A中非0子式的最高阶数
    • r(A)<5 A中5阶子式全为0
    • r(A)>=2 A有2阶子式 不为0
  • 常识
    • A!=0 r(A)>=1
    • r(A)=n <=> |A|!=0 <=> A可逆
    • r(A)<n <=> |A|=0 <=>A不可逆
  • 一般考题求秩
    • 给定秩小于几，一定也会给秩大于几，结合在一起求秩
• 证明|A|=0
  • Ax = 0有非零解
  • 反证法
    • A^-1找矛盾
  • r(A)<n
  • 0是特征值
    • |A| = ∏λi
  • |A|=-|A|
• 应用
  • 特征多项式
    • |A| = ∏λi 运用
      • 求解特征值
      • 含有参数a求特征值
  • 克拉默法则
    • 求Xi
    • 结合齐次/非齐，唯一解，非零解，无穷解
  • A*,A^-1，相关，无关，正定
• 行列式的计算#
  • 高频错误
    • 性质1
      • 某行(列)是两个元素之和，可以把行列式拆成两个行列式之和
        • |A+B| ！=|A|+|B|考的是E恒等变形
    • 性质2
      • 两行(列)互换位置，行列式的值变号
        • 注意矩阵的区别矩阵初等行变换不变号
    • 性质3
      • 某行(列)有公因子k，可以直接提取k
        • 注意矩阵的区别,A为矩阵矩阵 kA = [kaij]行列式 |kA| = k^n |A|
  • 重要公式
    • 上(下)三角形
      • 等于主对角线元素的乘积
        • a11a22a33...ann
    • 副对角线(副上下三角)
      • (-1)^ n(n-1)/2 乘副对角线元素
        • (-1)^ n(n-1)/2 *a1n a2(n-1)...an1
    • 拉普拉斯展开式(P6)
      • A,B分别为m阶和n阶矩阵(结合书理解)
      • 两种
        • A,B在主对角线上
          • 行列式=|A||B|
        • A,B在副对角线上
          • 行列式=(-1)^mn = |A||B|
    • 范德蒙行列式
      • (1, xi, xi^2, xi^3...xi^(n-1))
      • |A| = ∏(xi-xj) (1<=j<=i<n)
    • 特征多项式
  • 数字型计算
    • 技巧
      • 每一行都加到第i行
        • 每一行(列)都出现相反数，P9例1.3
      • 逐行相加
        • 目的做0 (P9例1.4)
      • 某一行k倍加到另一行
    • 特殊行列式
      • 爪型
        • 主对角线爪型
          • 主对角线元素向最靠边一行(或列)做运算，用于消除靠边行(或列)
            • 变成上(下)三角再运算
        • 副对角线
          • 副对角线元素向靠边一行(或列)做运算，用于消除靠边行(或列)
            • 变成副上(下)三角再运算
      • 三对角线型
        • 方法
          • 逐行相加
            • 第i行k倍加到i+1行
              • 目的变成上三角
          • 每一行加到第一行
            • 第i行k倍加到第一行
              • 最后变成展开公式加三角
          • n阶考虑数学归纳法/递推法 P14
            • 现在草稿纸上化简，根据结果再选择合适的归纳形式
            • 第一归纳法
              • Fn = aFn-1 +b
            • 第二归纳法
              • Fn = aFn-1 +bFn-2
  • 抽象行列式
    • 大概三种题型，解法
      • 行列式恒等变形
      • 矩阵公式、法则恒等变形，E恒等变形P15L1.12
        • 添加E，使成为AA^-1,带入原式
      • 特征值、相似
      • 型
        • |A+B|型
          • 行列式的恒等变形
          • 矩阵的性质
          • E恒等变形
        • |A| = ∏λi 运用
          • 求解特征值
          • 含有参数a求特征值
    • 矩阵行列式
      • A的n阶，|AT| = |A|
      • A是n阶，|kA| = k^n|A|
      • AB都n阶，|AB| = |A||B|
      • A是n阶，|A*| = |A|^(n-1)
      • A是n阶可逆，|A^-1| = |A|^-1
      • A是n阶，λi 是A的特征值，|A|= ∏λi
      • A~B，|A| = |B|
• 考点#
  • 计算
    • 数字型(展开公式)
      • 技巧
        • 某一行k倍加到另一行
        • 每一行都加到第i行
        • 逐行相加
    • 抽象型
      • 行列式性质，恒等变形矩阵公式，法则，恒等变形，E恒等变形特征值，相似
  • 应用
    • 特征多项式
    • 克拉默法则
    • A*,A^-1，相关，无关，正定
  • 证明|A|=0
    • Ax = 0有非零解
    • 反正法
      • A^-1找矛盾
    • r(A)<n
    • 0是特征值
    • |A|=-|A|
  • 代数余字式
  • 其他注意点
    • A-mxn,B-nxs,如果AB = 0
      • B的列向量是Ax=0的解
      • r(A)+r(B)<=n