导图社区线性代数-向量

线性代数-向量

参考李永乐线代辅导数，需要自主克隆

编辑于2020-06-09 21:16:46

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向量

基础

定义

n个数a1a2..an构成的有序数组称为n维向量

列向量

行向量

零向量（注意是几维）

向量相等

ai = bi

基本运算

加法

数量乘

内积

(a,b)

aTb

bTa

长度

（1，-3,2），长度为根号14

关系

部分组与整体组

行/列向量的个数变多或变少（a1,a2,a3）--> (a1,a2,a3,a4)

延伸组与缩短组

行/列向量长度变长或变短(1,2,3)T ---> (1,2,3,4)T

线性内容

线性相关

定义

存在不全为零Ki<Xi>，使得ΣKiαi=0，否则线性无关

可直接判定相关

含有零向量

含有相等向量

含有成比例的向量

向量组抽象，α为n维，k个(x)， r(α1,α2..αk)<k

应该意味着不论k与n关系如何，满足r(α1,α2..αk)<k就是线相关

k<n, r(α1,α2..αk)<k

应该没错

k=n, r(α1,α2..αn)<n

k>n一定相关

推论

n个n维向量线性相关⇔|(α1,..,αn)|=0

r(A) < n,

任何n+1个n维向量必线性相关

n个方程，n+1个未知数，齐次方程组的解必有非零解√

齐次方程组AX=0有非0解 <=> r(α1...αs) < s

部分组相关 => 整体组相关

整体减去该部分剩下的组系数设为0，仍相关相当于新添加的变量系数全为0

整体组无关 => 部分组无关

缩短组无关 => 扩展组无关

低维无关-->高维无关

扩展组相关 => 缩短组相关

高维相关-->低维相关

注：

给定了a的坐标，求相关性也就变成了求线性方程组有无非零解问题，秩<未知数个数

给定a的坐标，不论是行还是列向量，统一竖过来看，与横竖无关

几何意义

α相关 <=> α = 0

α1,α2相关 <=> α1,α2共线

α1,α2,α3相关 <=> α1,α2,α3共面(在同一面内)

线性无关

等价内容

1.任意不全为0的Ki，均有...≠0

k取任何不全0的数，都不能使式子为0

2.仅当Ki=0时，...=0

3.不存在不全为0的Ki，使得...=0

和定义相反的

根据α1,..,αm线性无关能得出什么？6点

其部分组全部线性无关----推论

增广矩阵的秩r>=m

能否结合r(α1,..,αm)=r(α1,..,αm,β)？

r(α1,..,αm)=m

极大线性无关组有m个向量

极大无关组为(α1,..,αm)

方程组只有0解

线性表出

定义

β可以被ΣKiαi表示(出)

其他说法

ΣKiαi是β的线性组合

等价内容（定理1）

存在Ki使得ΣKiαi=β

方程组[α1..αs][x1..xs]T有解

秩r(α1,..,αm)=r(α1,..,αm,β)

证明

选择

后期总结

两种证明题

在向量组等价中用到，给定具体的可能带有数字a的向量组，A,B向量组等价，求a

P75L3.5

抽象向量组A,B，证明或判断某个向量是否可被其他线性表出

一般给定A,B各自内部向量间会存在关系(相关，无关之类)

使用部分组拓展组等的性质判断

构造方程组，使用秩增广矩阵判断

P77L3.18一般就这两种思路,如果条件只有线表出，大概率是第二种方法

定理

定理2：向量组α1...αs线性相关<=>以αi为列向量的齐次线性方程组有非零解

其实也就是xi不全为0

定理3：向量组α1...αs线性相关<=>存在至少有一个αi可以被其余的向量线性表出

定理4：α1...αs线性无关，α1...αs,β线性相关，（=>）则β可以被α1...αs线性表出,且唯一

定理5：如果β1...βt可由α1...αs线性表出，则r(β1...βt) <= r(α1...αs)

(I)<--(II),r(I)<=r(II)

定理6

(1)如果βi(i=1,2,...,t)均可由αi(i=1,...,s)线性表出，且t>s,则βi(i=1,2,...,t)线性相关

多数向量可被少数向量表出，则多数一定线相关(多)<--(少)，(多)线相关

例：α1+5α2,3α1-11α2,7α1+9α2---一定线相关

(2)如果βi(i=1,2,...,t)均可由αi(i=1,...,s)线性表出，且βi(i=1,2,...,t)线性无关，则t<=s

(I)无关，(I)可以被(II)表出，则(I)长度比(II)小(I)无关，(I)<--(II), (I).L<=(II).L

比较S和T大小

(3)如果βi(i=1,2,...,t)均可由αi(i=1,...,s)线性表出，则称向量组βi可由向量组αi线性表出

n维向量A(α1,α2..αn)线性无关，若B(β1,β2..βn)可用A(α1,α2..αn)线性表出(即B=AC)，则B线性无关的充要条件是|C|！=0

可直接用于判断线无关选择题如果A列向量无关，B=AC，B无关充要条件<=>|C|!=0

题目类型

1.已知a1,a2..求b能否被线性表出,写出表示式

转化成阶梯，利用秩计算，r(A)=r(Aβ)

2.判断a1,a2,a3...相关性

(1)具体向量/含有t

#给定确定向量，判断相关性1.初等变换成阶梯，利用秩判断，r(A)<ki数量，则线性有关2.如果是n阶，初等变换后，行列式=0，则为线性相关3.非n阶，利用性质，缩小组无关，则扩展组也无关等

(2)性质推论判断

(3)方程组秩

抽象，α为k维， r(α1,α2..αn)<n，一定相关。参考P70L3.9(I)

3.证明题

(1)证明定理

(2)已知..证明线无关

有括号---》重组

#已知α1...αs线性相关，证明3α1+α2,α2-α3,...相关性1.设k1(3α1+α2)+k2(α2-α3)+...=02.(3k1+k2)α1+(...)α2+...=0

无括号---》乘

核心思想是"乘"，找到合适的乘数P69L3.6

A的m次方？

(A-E)?

(A-TE)?

存在正交关系？

想到aTaAB = 0, r(A)+r(B)<=n

定义法证明

目的都是使得设的Ki全部为0，使等式成立

只有向量无其他信息

几个向量的组合

含有基础解系

αi间必线性无关

含有特征值

不同特征值的特征向量线无关

秩证明

目的是证明出r(α1α2..αs)=s

行列式不为0，方程组只有零解，线无关

三秩相等

r(A) = A的行秩 = A的列秩

矩阵性质

(3)证明能否线表出

证明秩r(α1,..,αm)=r(α1,..,αm,β)

找出α1...αs线性无关，α1...αs,β线性相关

能表出，证明K!=0,K当分母

条件中能表出与不能表出有重合的能否用于判断某些K不为0?

不能表出，反证法

向量组的秩

定义

极大线性无关组的向量个数即为秩

极大线性无关组

定义

向量组中存在的线性无关部分组，可以线性表出向量组中任何一个向量

1.此时的部分组添加任一向量都会变成线性相关2.所有极大线性无关组的向量数是一样的

特点

极大线性无关组不唯一

各极大线性无关组所含向量个数相同

求法

初等变换成行最简，每行主元所在列标对应极大~中的向量

不一定唯一，也不一定必须找主元方便一些就找主元吧

体会与基础解系的关系

等价向量组

定义

向量组AB可以相互线性表出，则互为等价向量组

等价向量组的向量个数不一定相同

性质

向量组和其极大线性无关组是等价向量组

一个向量组中，各极大线性无关组之间都是等价~，且向量个数相同

定理与推论

定理6：如果向量组A可由向量组B线性表出，则r(A)<=r(B)

推论

向量组A和B等价 =》则r(A)=r(B)

来自定理6:B可由A线性表出，则r(B) <= r(A)A可由B线性表出，则r(A) <= r(B)所以r(A)=r(B)

向量组A可由向量组B线性表出，且r(A)=r(B),则A与B等价

一些容易忽略的必然关系

r( α1,..,αm )<=r( α1,..,αm,β )

r( α1,..,αm )+1>=r( α1,..,αm,β )

??多用在线性表出、不能线性表出条件中有些题目会构造出夹逼定理一样的强条件P77L3.18

α1,..,αm线性相关，r( α1,..,αm )<m

α1,..,αm线性无关，r( α1,..,αm,β )>=m

结合增广矩阵可证明不能线性表出

矩阵的秩

k阶行列式

mxn矩阵A 中，任取k行k列（k<=m,k<=n）,交叉的k^2个元素构成一个k阶行列式，称其为A的k阶子式

定义

mxn矩阵A中，存在r阶子式不为零，r阶以上子式均为零，则矩阵A的秩为r，记为r(A),r(零矩阵)=0

特性

r(A)<=min(m,n)

r(A)=r <=> 矩阵A中非零子式最高阶数是r

r(A)<r <=> A中每一个r阶子式全为零

r(A)>=r <=> A中有r阶子式不为零

r(A)=0 <=> A=O

r(A)≠0 <=>r(A)>=1

常用

若A为n阶矩阵

r(A)=n <=> |A|≠0 <=> A可逆

r(A)<n <=> |A|=0 <=> A不可逆

公式

r(A) = r(AT); r(ATA) = r(A)

r(aaT)<=r(a)<=1

当a为0向量时，秩就为0

k ≠ 0时，r(kA) = r(A); r(A+B) <= r(A)+r(B)

r(0E-A)=r(A)

r(A-E)=r(E-A)

r(AB) <= min( r(A), r(B) ) max( r(A), r(B) ) <=r(A, B)<= r(A) + r(B)

max( r(A), r(B) ) <= r(A, B)理解为，向量组子集和的秩小于其本身的秩

若A可逆，则r(AB) = r(B), r(BA) = r(B)

若A是mxn，B是nxs，AB=O，则r(A)+r(B) <= n

分块矩阵r(A,O O,B) = r(A)+r(B)

A~B r(A)=r(B)

定理

定理7：经过初等变换的矩阵的秩不变

定理8：三秩相等

A的秩r(A) = A的行秩r(α1...αm) = A的列秩r(β1...βn)

1.将A按行按列分块 Amxn = [α1...αm]T = [β1...βn]2.行秩、列秩根据行列分块后极大线性无关组判断

用处

矩阵A的秩处理列相关无关

向量组相关无关求矩阵的秩，解方程组

矩阵的秩

列向量极大线性无关组

行向量极大线性无关组

正交