线性代数-线性方程组

参考李永乐线代辅导书，需要自主克隆

线性方程组

• 基本概念
  • 齐次线性方程组
    • AX=0
  • 非其次线性方程组
    • AX=b
  • 通过初等行变换求解
    • 若一组数ci代替其中的xi，使等式成立，则ci就是方程组的解
• 齐次线性方程组
  • 基础解系
    • η1，η2，...ηt是齐次组的解
    • 且η1，η2，...ηt线性无关
    • 且AX=0的任一解η都可由η1，η2，...ηt线性表出
    • 则称η1，η2，...ηt是AX=0的一个基础解系
    • #证明η1，η2，...ηt是基础解系？三步骤只要证(1)Aηi=0(2)η1，η2，...ηt无关(3)t=n-r(A) (说明解向量个数符合要求即可)
  • 解的性质
    • η1，η2，...ηt是齐次组的解，对任意常数kiΣkiηi仍是方程组的解，也就是通解(也就是解的加加减减也是解,非齐没这种性质)
  • 基础解系求法
    • 系数矩阵行变换化成阶梯型，
    • n-r(A)确定自由变量个数
      • 必须要判断，防止出错
    • 找到一个秩为r(A)的矩阵，其他的都为自由变量
    • 依次给自由变量赋值为1其余为0，共n-r次
  • 定理
    • 定理1
      • AmnX=0有非零解，<=> 则r(A)<n，若m=n此时|A|=0
      • 等价
        • <=> r(A)<n
        • <=> A的列向量线性相关
      • 特别
        • A-mn,m<n则Ax=0必有非0解
        • A-n阶，Ax=0有非零解 <=> |A|=0
      • 判断有无非零解的手段
    • 定理2
      • 齐次组r(A)=r<n, 则齐次组有n-r个线性无关的解，且齐次组中任何一个解都可以被这n-r个线无关的解线性表出
        • 即齐次组的基础解系由n-r个解向量构成，也就是n-r个η，也可理解为n-r个自由变量r(xi)<=n-r(A)
    • 定理3
      • η1，η2，...ηt是齐次组的基础解系，则通解为Σkiηi
  • 题
    • • 给定齐次组AX=0，求通解，基础解系 P199L4.2
        • 行阶梯赋值，不用行最简
    • • 抽象，未给定齐次组A，求通解，基础解系 P94.(2)
        • 求n-r(A)确定自由变量个数再根据等式赋值得通解
    • 证明给定向量组是基础解系
      • 证明基础解系三步骤
    • 型二
      • 给定通解η1..ηt，求方程组系数A
• 非齐次线性方程组
  • 解的性质
    • 1. ζ1,ζ2是AX=b两个解，ζ1-ζ2是导出组AX=0的解
    • 2. ζ是AX=b的解，η是导出组AX=0的解，则ζ+kη是AX=b的解
      • 这就是求解过程， 先求ζ，再求η再相加，具体方法增广矩阵
  • 定理
    • 定理4
      • AX=b有解 <=> r(A) = r(A增广) <=> b可被A列向量线性表出
      • AX=b无解 <=> r(A增广) = r(A)+1
        • 列向量+1
    • 定理5
      • α为AX=b的解，η1..ηt是导出组AX=0的基础解系，则方程组通解为: α+k1η1+k2η2+..+ktηt
        • 解的结构
  • 解的判定
    • 唯一解
      • r(A) = r(A增广) = n
    • 无穷解
      • r(A) = r(A增广) < n
    • 无解
      • r(A) +1 = r(A增广)
  • 求解步骤
    • 增广化成行最简 或
      • 找到单位矩阵求
      • 行阶梯直接求
        • 代入求解，注意选定合适的自由变量，系数不为1会出现分数，此时注意赋的值尽量可以整除尽量留系数都为1，自由变量赋值1方便求解
      • 化成行最简求
    • 解的判定
      • 有解无解？一解无穷解？
    • n-r 判自由变量个数
    • 写齐次组解
    • 写非齐特解
      • 一般自由变量全赋值为0，找特解
  • 题型
    • 型三
      • 给定非齐组AX=b, 求解
      • 给定带参数的非齐组AX=b, 求解
  • 注意
    • 非齐有解充分必要条件
• 公共解、同解
  • 公共解
    • 概念
      • 对于方程组(Ⅰ)、(Ⅱ), 如果α既是(Ⅰ)的解又是(Ⅱ)的解，则α称为(Ⅰ)(Ⅱ)公共解
        • (Ⅰ)、(Ⅱ)可能是非齐次的
    • 求法
      • 法一
        • (Ⅰ)、(Ⅱ)系数构成矩阵A，当做一个方程组求通解
      • 法二
        • 分别求(Ⅰ)、(Ⅱ)得通解，k1ζ1+kiζi = t1η+tiη, 系数求出ki之间关系，再代入(Ⅰ)或(II)得通解
      • 法三
        • (Ⅰ)通解代入(Ⅱ)，求出ki之间的关系，再代入(Ⅰ)通解
    • 题 P114
      • 给定两个方程组，求两个方程组公共解
      • 给定一个方程组，另一个为基础解系，求公共解
        • 先求出给定的基础解系
        • 设r为公共解，r一定可以被两个基础解系表出
        • 两个表出式相减，得出一个齐次方程组
  • 同解
    • 概念
      • 方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)，如果α是(Ⅰ)的解，则α必是(Ⅱ)的解；反之也成立。
    • 特性
      • 解集合是同一个
      • n-r(A) = n-r(B)=》r(A) = r(B)
        • 解的个数相同
    • 特别的
      • ATAx = 0Ax = 0 同解
        • P117
    • 题
      • 方程组1,2都含有未知数求同解 P116L4.22
        • 根据1,2推断秩大小
        • 根据秩大小解出一个方程组的未知数，并求其通解
        • 将通解代入另一个方程组
        • 解出另一个方程组未知数
        • 验算未知数
          • 容易忘记将未知数代回矩阵，观察AB矩阵关系最终结果是AB两个通解一样
            • 子主题
• 方程组应用
  • 可交换
    • 满足AB = BA，就称矩阵A,B可交换
• 考点
  • 应用
    • 相关、无关
      • 齐次方程组有没有非零解
    • 线性表示
      • 非齐次方程组有没有非零解
    • 求矩阵
      • 最近都有的题型，表面求矩阵，其实求方程组解，将解拼成矩阵 P117
        • 求xi的时候使用tuv方法更便捷，01赋值稍麻烦一些
    • 特征向量
      • 解齐次方程租，得出基础解系
  • 公共解、同解
  • 齐次方程组Ax=0
    • 基础解系
    • n-r(A)
  • 非齐次方程组
    • 解的结构
    • 参数处理，讨论
      • 绝大多数都会带有参数