常微分方程第四章高阶微分方程思维导图

常微分方程第四版第四章内容结构图，某些高阶方程的降阶和二阶方程的幂级数解法。当公式或文字展示不完全时，记得向左←滑动哦！

第四章 高阶微分方程

• 4.1线性微分方程的一般理论
  • 4.1.1齐次线性微分方程的解的性质与结构
    • 定理1（叠加原理）:如果X₁（t）,X₂（t）,...,Xk（t）是方程（4.2）的k个解，则它们的线性组合C₁X₁（t）+C₂X₂（t）+...+CkXk（t）也是（4.2）的解，这里C₁,C₂,...Ck是任意常数
    • 线性相关与线性无关：
    • 定理2:
    • 定理3:如果方程（4.2）的解X₁（t）,X₂（t）,...,Xn（t）在a≤t≤b上线性无关，则W【X₁（t）,X₂（t）,...,Xk（t）】在这个区间的任何点上都不等于零，即W（t）≠0（a≤t≤b）
    • 定理4:n阶齐次线性微分方程（4.2）一定存在n个线性无关的解
    • 定理5:（通解结构）如果X₁（t）,X₂（t）,...,Xn（t）是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表示为X=C₁X₁（t）+C₂X₂（t）+...+CnXn（t）,其中C₁,C₂,...Ck是任意常数，且包括了（4.2）的所有解
    • 推论：方程（4.2）的线性无关解的最多个数等于n
    • 基本解组：方程的一组 n 个线性无关解。特别地，当W(t)=1时称其为标准基本解组
  • 4.1.2非齐次线性微分方程与常数变易法
    • 性质1:
    • 性质2:
    • 定理6：非齐次线性微分方程的通解结构定理
    • 常数变易法求非齐次线性微分方程特解，例题如下：
• 4.2常系数线性微分方程的解法
  • 4.2.1常系数齐次线性微分方程 欧拉待定指数函数法（又称特征值法）
    • （1）特征值是单根的情形
      • （1）两个两两互异的単实根
      • （2）单复根
    • （2）特征值有重根的情形
      • Ⅰ.
      • Ⅲ.复重根的情形：
  • 4.2.2非齐次线性微分方程与比较系数法
    • 类型Ⅰ（比较系数法）
    • 类型Ⅱ（拉普拉斯变换法）
  • 4.2.3质点振动
• 4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法
  • 4.3.1可降阶的一些方程类型
    • （1）方程不显含未知函数x
    • （2）方程不显含自变量t
    • （3）齐次线性微分方程
  • 4.3.2二阶线性微分方程的幂级数解法
    • 定理7:
    • 定理8:
  • 4.3.3第二宇宙速度的计算