第六章线性空间

高等代数第六章：子空间的直和：和V1+V2为直和的充要条件：1、V1∩V2={0}。2、α1+α2=0（α1∈V1,α2∈V2）只有在α1，α2全为零向量。

线性空间

• 基变换、坐标变换
  • 过渡矩阵
  • 运算规律
• 维数、基、坐标
  • 线性表出
    • α=k1α1+k2α2+……+krαr
  • 线性相关
    • k1α1+k2α2+……+krαr=0(k1,k2,……,kr不全为0）
  • 3个常用结论（P166）
  • 不同的基对应不同的坐标
• 线性空间的定义与简单性质
  • 定义：封闭、加法、数乘
  • 规则：交换结合零与负（加法）； 单位结合混合乘
  • 简单性质：1、零元素是唯一的； 2、负元素是唯一的； 3、0α=0；k0=0;(-1)α=α 4、如果kα=0,那么k=0或α=0
• 集合，映射
  • 集合M到自身的变换
    • M到M自身的映射
  • 单位映射（恒等映射）
    • σ把每个元素映到它自身
  • 满射、单射、双射、逆映射
• 线性子空间
  • 线性子空间
    • 数域P上线性空间V的一个非空子集合W
  • 零子空间
    • 由单个零向量所组成的子集合
  • 平凡子空间
    • 零子空间和线性空间自身
      • 非平凡子空间：其他的线性子空间
  • 生成的子空间
    • L（α1，α2，……，αr）
  • 解空间
    • 齐次线性方程组的全部解向量组成的子空间
• 子空间的交与和
  • 交：V1∩V2
    • 交换律、结合律（多个子空间）
  • 和：V1+V2
    • 交换律、结合律（多个子空间）
    • 定理：V1+V2是包含V1、V2的最小线性子空间
  • 结论：对于子空间V1与V2，以下三个论断都是等价的：1）V1包含于V2； 2）V1∩V2=V1; 3）V1+V2=V2。
  • 定理：L(α1,α2，……，αs)+L(β1,β2,……,βt)=L(α1,……,αs,β1,……,βt)
  • 定理（维数公式）：维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)+维(V1∩V2)
• 子空间的直和
  • 直和：V1⊕V2
    • V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2（α1∈V1,α2∈V2）
  • 和V1+V2为直和的充要条件：1、V1∩V2={0}。 2、α1+α2=0（α1∈V1,α2∈V2）只有在α1，α2全为零向量；
  • 定理：设V1,V2是V的子空间，令W=V1+V2，则W=V1⊕V2的充要条件是维(W)=维(V1)+维(V2）
• 线性空间的同构
  • 数域P上的两个线性空间V与V´称为同构的，如果由V到V´有一个双射σ，具有以下性质 1）σ(α+β)=σ(α)+σ(β); 2)σ(kα)=kσ(α). (α,β是V中任意向量，k是P中任意数）。 这样的映射σ称为同构映射。
  • 同构映射σ的基本性质（5条）P179
  • 数域P上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数