第五章二次型

高等代数第五章：二次型及其矩阵表示：二次型定义、二次型的矩阵、矩阵合同：A，B合同→B＝C^TAC（C可逆）1、自反性；2、对称性；3、传递性。

二次型

• 二次型及其矩阵表示
  • 二次型定义
  • 线性替换X＝CY
    • 当|C|≠0，称线性替换X＝CY为非退化的
  • 二次型的矩阵
    • 未知数前面的系数构成的n×n矩阵A
  • 矩阵合同
    • A，B合同→B＝C^TAC（C可逆） 1、自反性；2、对称性；3、传递性
• 标准形
  • 定义
    • 平方和
  • 二次型化成标准形的方法
    • 配方法
    • 矩阵（打洞原理）
    • 初等变换（相同的行列变换）
• 正定二次型
  • 正定：f(c1,c2，……，cn)>0 半正定：f(c1,c2，……，cn)≥0 负定：f(c1,c2，……，cn)<0 半负定：f(c1,c2，……，cn)≤0
    • n元实二次型正定的充要条件：1、正惯性指数等于n 2、矩阵A的顺序主子式全大于0
  • 如果二次型X^TAX正定，那么实对称矩阵A是正定的
    • A正定↔A合同于对角元大于0的对角阵↔A合同于单位矩阵
  • 正定矩阵的行列式大于0
• 唯一性
  • 规范形是唯一的
  • 正惯性指数p,负惯性指数r-p,符号差2p-r