导图社区 考研数学高数基础04学霸笔记
微分中值定理与导数的应用思维导图笔记，主要内容有一、微分中值定理二、导数的应用三、函数图形的描绘四、曲率。希望能对你有所帮助！
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考研数学高数基础04学霸笔记
教材高数04 微分中值定理与导数的应用
一、微分中值定理
证明题考频： 罗尔定理>拉格朗日中值定理>泰勒中值定理（因泰勒中值定理考法比较固定）
1.费马引理
内容
简单证明
不考费马引理的证明，但要明确方法
老师锐评——一个点的导数用定义
2.罗尔定理（证明题通法）
变形关键在于第（3）条的一阶导函数式子
无巧不证明
为何开区间可导就足够了？ 因为导数值为零的点在开区间内，若是闭区间可导则（1）不需要写了（可导必连续）
老师锐评
关键在于（3）
也就是说找到两个点相等就可以了，相等的点可以是端点也可以是内部的点
考法规律——一般是一个端点+一个内部点
直接给两个端点相等太简单，若是两个内部点又太复杂
考题类型（有四种）
题型一（最基础）
模样
特点
与罗尔定理“长得一模一样”，也就是开门见山
很像真正纯净的原装正版操作系统
解题思路
直接找两个点相等即可
经典例题
老师训诫（某生问可不可以反证法）
考研学习要学的是类题的通法，不要就题论题
题型二（难度升级）
解题思路（两个）
①找两个一阶导数相等
能想到这个办法是认清楚了导函数也是函数
②找三个函数值相等
接连释放两次“罗尔定理”（犹如洛洛历险记上双重龙皇异次元的感觉）
考研常考
几何化理解
趣味形象化理解
叠床架屋
考法规律
给出两个相等的函数值点，在中间再找一个相等的点
基础性
只给出一个函数值点，再找两个和它一样的
综合性
往往函数值是0
三个点都要自己找
从未考过，因为它没有方向
题型三
表达式形式
移项、积分并构造函数
注意这个过程是恒等变形
移项方法总结
积分因子法
莫忘了移项构造函数
考试频率比较高
变罗尔定理中的一阶导函数为一个式子，相等的两点藏于式子里
题型四（可以化成前三个中某一个的双重使用）
考查频率不是特别高
3.拉格朗日中值定理
关键在于找对区间
几何意义
考查规律
常用以证明某一点的导数是一个数
常用以证明某一点的导数>0或者<0
遇到同名函数相减常用
证明题
求极限（注意夹逼准则的使用）
4.柯西中值定理
仅作了解，考试较少
深入剖析
与拉格朗日中值定理不同点在于是参数方程
为何不可以两次使用拉格朗日中值定理？
因为对应的ξ往往不同
引发思考——必须统一ξ即必须统一函数图像是同一条曲线
为何不建议用罗尔定理的推理来证明这个？
因为罗尔定理能推导这个只是给出来了结果才能推理，只是逆推理，要想真正从数形结合根本上说明白这个问题用参数方程最好
5.泰勒中值定理
基础阶段强化阶段都是了解
用于求极限
用于证明题
二、导数的应用
1.单调性
常考题型
不等式证明
一个函数大于另一个函数
移项构造函数，求导研究图像，找出最小值
2.凹凸性与拐点
（1）凹凸性的定义
曲线凹凸性的判定定理
大凹小凸
二阶导函数大于0，说明一阶导函数单调递增，说明曲线斜率逐渐增大，说明函数曲线上凹
（2）拐点的定义
（3）拐点的判定
看该点的三阶导数
若等于0则不一定
若不等于0则是拐点
三阶导不为0，二阶导为0，是为拐点
看一阶导函数单调性的改变
3.极值与最值
（1）极值的定义
（2）极值的判定
（3）最值的判定
利用单调性
易错点总结
端点值不可忽略
看函数图像，不要漏掉尖点，即不可导点
对于可导函数而言，一个点是极值点就不是拐点
三、函数图形的描绘
考研不考绘图
渐近线
求渐近线参数的方法一
常规方法
求渐近线参数的方法二
常用于小题
妙在巧妙引入了无穷小来解题
品味无穷小的实际意义
四、曲率
数学一考的少 数学二常考 数学三仅作了解
1.定义
考法
变形方法总结
直接考公式
结合隐函数
结合参数方程
2.曲率圆
反之不成立是因为公式中的绝对值
