考研数学高数基础08、09章学霸笔记

这是一篇关于考研数学高数基础08、09章学霸笔记的思维导图，主要内容有一、微分方程的基本概念二、—阶微分方程（化标准型并显现y')三、可降阶的微分方程四、高阶线性微分方程五、常系数线性微分方程六、欧拉方程（仅数一)。

考研数学高数基础08、09学霸笔记

• 教材高数08-09 微分方程
  • 一、微分方程的基本概念
    • 1.微分方程
      • 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程
    • 2.微分方程的阶
      • 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶
        • • 正确理解
          • 现实意义
            • 可以将方程按照阶数分类（一阶、二阶、三阶）
    • 3.微分方程的解
      • 满足微分方程的函数（显函数或隐函数均可），叫做该微分方程的解
    • 4.微分方程的通解
      • 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解
        • 正确理解
          • • 最基本的方法就是积分回去
              • 注意点
                • 每积分一次就需要加上一次常数项C
      • 相关概念
        • 奇解
          • 非常特殊且需要讨论，考研不考
          • 有时候是包含在通解里的，有时候不包含
    • 5.初值条件、特解与初值问题
      • 初值条件
      • 特解
        • 根据初值条件，确定了通解中的任意常数以后，得到解叫做微分方程的特解
      • 初值问题
      • 相关题型
        • 含变限积分函数的等式方程
  • 二、一阶微分方程（化标准型并显现y'）
    • 1.可分离变量的微分方程（基础类型题）
      • 形式（x、y是可以分开的）
        • • 另外条件
      • 解法（顾名思义）
        • • 变成了不定积分问题
      • 典例
    • 2.齐次方程（进阶类型题——需要换元思想）
      • 形式（x、y在一起分不开）
        • • 属于零次齐次函数
      • 解法
        • • 换元法化为基础类型
        • 解法中蕴含的另外一种巧妙思想
          • 乘法类求导比除法类求导要简单
      • 命名原因及补充背景知识
        • 齐次函数
          • • 了解即可
      • 典型例题分析
        • • 易错点
            • 注意如果是大题，要在答案结尾附带上“C是任意常数”
    • 3.可化为齐次的方程（了解）（再进阶类型题——引入干扰常数杂项）
      • 形式
        • • 根据形式产生思路
            • 消除两个常数项并且上下同除x化为齐次方程
      • 解法
        • • 变出来了二元一次方程求解问题
      • 典型例题分析
    • 4.一阶线性微分方程（再再进阶类型题——抵消隐藏掉重要项需要自行还原）
      • 1.什么叫做线性关系？ 就是相对于未知函数而言，只有加法和数乘  （在该式子中，y是未知函数，y'与y就是线性关系，当然前提是需要把三角形圈住的部分看成常数） 2.什么叫做非线性关系？ 例如：图中y'与y二者至少有一个指数是2，这种情况就是非线性关系
      • 数学一二三重点
      • 形式
      • 解法
        • 积分因子法
      • 典型例题分析
      • 因易与其他知识点结合，所以常考且常出综合题
    • 题型
      • 升级难度版
        • 难在不易看出是何种类型
    • 5.伯努利方程（仅数一）
      • 形式
      • 解法
      • 不常考但是数一可能出小题
  • 三、可降阶的微分方程
    • 数一二重点，数三了解
    • 降阶本质就是换元
      • 各种换元，换元成简单的方程解出来就可以了，关键在于怎么换元
    • 概念
      • 形式
        • • 是二阶方程
      • 可以降阶的情况
        • 不显含x
        • 不显含y
      • 理解概念需要搞清楚的问题
        • 为何需要降阶？
          • 不降阶不好算
    • 类型
      • • 基础类型
          • 其实不需要降阶，只需要连续积分即可
          • 该类型的降阶其实是凑数过程（了解即可）
      • • 解法
        • 典型例题
      • • 解法
          • 理解该解法思想的关键
            • 为何不能像类型2.中一样的方法（y''=dp/dx）？
        • 典型例题
          • • 易错点
              • 明确最终的目的是探讨y与x之间的关系
  • 四、高阶线性微分方程
    • 1.二阶线性微分方程（推广到n阶）
      • 形式
      • 特点
        • 关于未知函数没有平方，只有数乘和加法
        • 关于自变量可以随便
    • 2.线性微分方程解的结构
      • 齐次方程
        • 式子右侧为0（最基础类型）
          • • 启发
              • 齐次方程的解的线性组合还是齐次方程的解（表层初步结论）
                • 其实已经得到了齐次方程的通解（进一步深思）
                  • 为何如此判断？
                    • 对于二阶方程，首先是解，其次含有两个任意常数（也就是说满足通解的定义）
                  • 求通解的方法（只要找到两个特解然后线性组合起来即可）
      • 非齐次方程
        • 式子右侧仅有一个函数（升级难度版）
          • • 需要理解的关键问题
              • 情况②系数相加不是0也不是1呢？
                • 那就是其他的非齐次方程了，不是这里探讨的非齐次方程
          • • 即这里探讨引入上边齐次方程的解造成的影响
              • 齐次方程（通解）+非齐次方程（特解）=非齐次方程（通解）
                • 判断是“非齐次方程通解”的依据
        • 式子右侧有两个函数且往往类型不同（再次升级难度版）
          • • 解的叠加原理
              • 巧妙逆用，例如一个式子右边出现x+sinx，那么可以拆分成两个来处理
  • 五、常系数线性微分方程
    • 1.二阶常系数齐次线性微分方程（推广到n阶）
      • 形式
      • 解法
        • 齐次
          • • 分析
            • 解法
              • 记住三种情况最后的推导结论足矣
              • • 两个不同根
                • 两个相同根（重根）
              • • 虚数根
              • 题型
                • 不管什么题型，基础做法都是——上来就写出特征方程（有时候会用到因式分解、试根法、多项式除法）
                • 综合三个情况（基础综合题）
                  • • 注意事项： 1.“最简方程”意味着重根只需要二重根足矣。 2.如果需要三重根那就是“（r+1）的三次方”。 3.r3,4等式左右平方即可得到原始式子。
                    • 实质上就是根据三个情况各自的特征逆向推理做题
        • 非齐次
          • 齐次方程（通解）+非齐次方程（特解）=非齐次方程（通解）
            • 关键在于寻找非齐次方程（特解）
              • 方法——待定系数法
                • 除了“待定系数法”之外还有一个“微分算子法”，如果学过则考研可用，若没学过则不建议花考研时间去学习“微分算子法”
                • 考查特点
                  • 考研顶多只会考一次求解非齐次特解
                  • 选择题若考到只考待定系数法
                    • 选择题考查形式
                      • 一个微分方程问特解可以设成什么形式？ABCD
    • 2.二阶常系数非齐次线性微分方程（推广到n阶）
      • 这里讲的是待定系数法，不同于1.
      • 实质
        • 探讨根据f(x)的形式去设这个特解长什么样子
      • 类型
        • • 形式解析
            • • 指数函数*多项式
          • 解法
            • • 分情况讨论
                • • 举例理解
                • • 举例理解
                • 推广总结
                  • 几重根则就设几次方
                • 公式核心总结
        • • 形式解析
            • 指数函数*三角函数
          • 解法
            • • 举例说明
        • • 解法
            • • 举例说明
  • 六、欧拉方程（仅数一）
    • 形式
    • 解法
    • 数学思维分析
    • 典型例题