考研数学高数基础14学霸笔记

这是一篇关于考研数学高数基础14学霸笔记的思维导图，主要内容有一、向量的积运算二、平面与直线三、曲面与曲线四、空间曲线的切线与法平面五、空间曲面的切平面与法平面。

考研数学高数基础14学霸笔记

教材高数14 向量代数与空间几何

空间几何每年必考一道5分小题

一、向量的积运算

1.数量积(内积、点积)

顾名思义计算结果是数量

2.向量积(叉积)

顾名思义计算结果是向量

注意点

书写叉积先后顺序不同则就不同

3.混合积

为何可以写成行列式形式？

因为这里的行列式的几何意义就是三个向量组成的平行六面体的体积

右手系和左手系无非就是行列式内的某两行交换了位置

二、平面与直线

1.平面

（1）点法式

即平面内一点和平面的法向量

（2）一般式

（3）截距式

2.直线

（1）一般式

即两平面相交得到一条直线

（2）点向式(对称式)

特殊情况

（3）参数式

3.平面束

过一条直线的所有平面

若采用下面的两个式子则最后需要验证不包含的平面是否满足题意

4.夹角

（1）平面与平面

注意点

两个平面之间的夹角是0-90°

两个向量之间的夹角是0-180°

（2）直线与直线

两个直线之间的夹角是0-90°

（3）直线与平面

直线与平面之间的夹角是0-90°，可以取到90°

5.距离

（1）点到平面

（2）点到直线

三、曲面与曲线

1.曲面

坐标面内的曲线旋转

锥面

抛物面

总结规律

绕谁旋转则谁就不变，变化其他的两个字母

双叶双曲面、单叶双曲面

系数是用来仅仅根据式子来判断单叶、双叶 双曲线方程可以根据代0法迅速确定图像画法——代入z=0

坐标系注意满足右手系

空间曲线绕坐标轴旋转

找到一点，列出所满足的曲线方程，联立该点的其他相关(位置)关系，消去该点坐标，进而得解

（3）柱面

平行于Z轴的柱面的式子均没有Z坐标

平行于Z轴的圆柱面

平行于Z轴的抛物面(并非绕Z轴旋转)

（4）二次曲面

2.曲线

（1）一般式

即两个曲面的交线

（2）参数式

（3）投影(曲线)

思路剖析

消去Z得到的H函数满足曲线方程且没有Z坐标(与Z轴平行)，其结果一定是投影曲面(图片中紫色线条的面)，结合Z=0就可求出投影曲线

四、空间曲线的切线与法平面

法平面就是垂直于切线的平面

1.参数式曲线

意义

根据参数方程求导并代入t0以及由t0求出来的定点，可以得到切线方程

2.一般式曲线（切平面交线）

直接求偏导即可

由此想到求偏导的深层次意义就是构造出参数方程

更深思考

该题选择y作为参数，求解出现矛盾方程

一个参数不行可以换成其他的参数就可以解出来

想到某些情况下可以根据点的坐标的数字来选择参数，比如这次的点坐标中1对应的x

五、空间曲面的切平面与法平面