高数 第一章函数与极限

高等数学第一章函数与极限的思维导图，包括数列的极限、函数的极限、无穷大与无穷小、极限运用法则、函数的连续性和间断点等内容。

第一章 函数与极限

• 第十节 闭区间上连续函数的性质
  • 闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续，右端点左连续.
  • 最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。
  • 介值定理
• 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
  • 连续函数的和，差，积，商的连续性
    • 四则运算 若函数f(x)，g(x)都连续，则f(x)g(x)，f(x)g(x)，f(x)/g(x)都是连续的。
  • 反函数与复合函数的连续性
    • 复合函数 若函数f(x)在点处连续，函数g(x)在处连续，，那么复合函数在点x处连续。
  • 所有可以由基本初等函数经过一系列运算，包括加、减、乘、除和开根号等运算后，得到的新的函数称为初等函数
• 第八节 函数的连续性与间断点
  • 函数的连续性
    • 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线
      • • 如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。
    • • 求出分段函数在某点的左右极限值，如果左极限=右极限=函数在该点的函数值，就说明函数在此点是连续的。
  • 函数的间断点
    • 在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。
      • 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。 无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。 振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。·
      • • 间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。左右极限存在且相等是可去间断点，左右极限存在且不相等才是跳跃间断点。可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。
          • 给定一个函数f（x）如果x0是函数f(x)的间断点，并且f(x)在x0处的左极限和右极限均存在的点称为第一类间断点。若f(x)在x0处得到左、右极限均存在且相等的间断点，称为可去间断点。
      • • 可去间断点的四个判断方法如下： 1、看f(x)在x0处的左、右极限是否均存在且相等。 2、看分子分母的极限是否同时为0。 3、看单独分子极限是否为0，分母极限不为0。 4、看分母极限是否为0，分子极限不为0。
• 浮动主题

第一章 函数与极限

• 第十节 闭区间上连续函数的性质
  • 闭区间上连续函数的性质 闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续，右端点左连续.
  • 最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。
• 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
  • 连续函数的和，差，积，商的连续性
    • 四则运算 若函数f(x)，g(x)都连续，则f(x)g(x)，f(x)g(x)，f(x)/g(x)都是连续的。
  • 反函数与复合函数的连续性
    • 复合函数 若函数f(x)在点处连续，函数g(x)在处连续，，那么复合函数在点x处连续。
  • 所有可以由基本初等函数经过一系列运算，包括加、减、乘、除和开根号等运算后，得到的新的函数称为初等函数
• 第八节 函数的连续性与间断点
  • 一。函数的连续性
    • 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线
      • • 如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。
    • • 求出分段函数在某点的左右极限值，如果左极限=右极限=函数在该点的函数值，就说明函数在此点是连续的。
  • 二。函数的间断点
    • 在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。
      • 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。 无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。 振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。·
      • • 间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。左右极限存在且相等是可去间断点，左右极限存在且不相等才是跳跃间断点。可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。
          • 给定一个函数f（x）如果x0是函数f(x)的间断点，并且f(x)在x0处的左极限和右极限均存在的点称为第一类间断点。若f(x)在x0处得到左、右极限均存在且相等的间断点，称为可去间断点。
      • • 可去间断点的四个判断方法如下： 1、看f(x)在x0处的左、右极限是否均存在且相等。 2、看分子分母的极限是否同时为0。 3、看单独分子极限是否为0，分母极限不为0。 4、看分母极限是否为0，分子极限不为0。
• 第七节 无穷小的比较
  • 子主题
• 第六节 极限存在准则 两个重要极限
  • 子主题
• 第五节 极限运算法则
  • 定理及推论
    • 定理1；两个无穷小的和是无穷小
    • 定理2；有界函数与无穷小的乘积是无穷小
      • 推论1；常数与无穷小的乘积是无穷小
      • 推论2；有限个无穷小的乘积是无穷小
    • 定理3；如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么 (1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B; (2)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B; (3)若又有B≠0，则limf(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=A/B
      • 推论1；
        • 推论1 如果limf(x)存在,而c为常数,那么lim[cf(x)]=climf(x).
        • 推论2 如果limf(x)存在,而n是正整数,那么lim[f(x)]ⁿ=[limf(x)]ⁿ.
    • 定理4；
• 第四节 无穷大与无穷小
• 主题
• 主题